Демидович №4343 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

02.11.2011

Демидович №4343

Filed under: мат. ан. сем. 3 — Shine @ 11:34 дп

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода:

∬ (x+ y + z)ds, S

(1)

где $S$ – поверхность

2 2 2 2 x + y + z = a , z ≥ 0.

(2)

Зададим поверхность в параметрическом виде. В сферических координатах уравнение поверхности (2) записывается как $r = a$ , и если перейти обратно в декартовы координаты, получится:

( |{ x = asinθcosφ y = asinθsinφ |( z = acosθ.

(3)

Компоненты $x$ , $y$ и $z$ радиус-вектора $−→ r = x⃗i+ y⃗j +z⃗k$ , таким образом, зависят от двух параметров, которые для верхней полусферы лежат в следующих областях: $0 ≤ θ ≤ π∕2$ и $0 ≤ φ ≤ 2π$ .

После параметризации

| | ∘ (---)2(---)2---(-------)2 ds = ||−→r ′θ × −→r ′φ ||dθdφ = −→r ′θ −→r ′φ − −→r ′θ ⋅−→r ′φ dθdφ.

(4)

| | ∘ (---)-(---)----(-------)- ds = ||−→r ′ × −→r ′ ||dθdφ = −→r ′ 2 −→r ′ 2 − −→r ′⋅−→r ′ 2dθdφ. θ φ θ φ θ φ

Учитывая (3), вычислим:

( ) ( ) (−→ ′)2 d-(⃗ ⃗ ⃗ ) -d (⃗ ⃗ ⃗ ) r θ = dθ kz + jy + ix ⋅ dθ kz + jy+ ix =

( d ( )) ( d ( ) ) = -- a⃗j sinφ sin θ+ a⃗icosφsin θ+ a⃗k cosθ ⋅ -- a⃗jsinφ sin θ+ a⃗icosφsinθ+ a⃗k cosθ = dθ dθ

( ) ( ) = − a⃗ksin θ+ a⃗jsin φcosθ + a⃗icosφ cosθ ⋅ − a⃗ksinθ+ a⃗jsinφ cosθ + a⃗icosφcosθ =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 = a sin θ+ a sin φ cos θ + a cos φcos θ = a .

Аналогично

( )2 ( ) ( ) −→r ′φ = a⃗jcosφsinθ − a⃗isinφ sinθ ⋅ a⃗jcosφ sinθ − a⃗isinφ sinθ = a2sin2 θ,

( ) ( ) ( ) −→r ′⋅−→r ′ 2 = − a⃗ksinθ +a⃗j sinφ cosθ+ a⃗icosφcosθ ⋅ a⃗jcosφ sinθ − a⃗isinφ sinθ = 0. θ φ

Тогда $2 ds = a sinθdθdφ$ . Подставляем $ds$ и (3) в интеграл (1):

∬ 2∫π π∫∕2 (x +y + z)ds = dφ dθa2 sinθ (a sinφ sin θ+ acosφ sinθ +a cosθ) = S 0 0 1∫2π = 4 dφ πa3sin φ+ πa3cosφ + 2a3 = πa3. 0

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников