Ещё раз к вопросу о пределах с корнями « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

06.12.2012

Filed under: мат. ан. сем. 1 — Shine @ 9:56 пп

Рассмотрим произведение:

∑n n-k k ∑n n- k+1 k n∑ n-kk+1 (a- b) a b = a b - a b = k=0 k=0 k=0

(во второй сумме заменяется $k = j - 1$ ):

∑n n-k+1 k n∑+1 n-j+1 j n+1 ∑n n-k+1 k ∑n n-j+1 j n+1 n+1 n+1 = a b - a b = a + a b - a b - b = a - b . k=0 j=1 k=1 j=1

Итак,

n (a - b)∑ an-kbk = an+1 - bn+1. k=0

В частности, когда $n = 1 :$

(a - b)(a +b) = a2 - b2,

$n = 2 :$

( 2 2) 3 3 (a- b) a + ab +b = a - b,

$n = 3 :$

( 3 2 2 3) 4 4 (a - b) a + a b +ab +b = a - b.

Теперь пусть $m1 a = α$ ; $1m- b = β$ . Тогда

( 1- 1) ∑n n-k k- n+1 n+1 α m - βm α m β m = α m - β m . k=0

В частности, когда $n = m - 1$ ,

( -1 1) m∑-1 m-1-k k- αm - β m α m βm = α - β. k=0

Так можно избавиться от разности корней любой степени.

No comments yet.

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.