Некоторые пояснения по каноническому виду уравнений 2-го порядка (ММФ) « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

06.09.2014

Некоторые пояснения по каноническому виду уравнений 2-го порядка (ММФ)

Filed under: ММФ,Решения — Shine @ 1:15 дп

ОБН 11.09.2014 поправил ересь в конце.

Про эллиптические уравнения всем группам, кроме 06-206, я не привёл никаких обоснований, а группе 06-206 наговорил общих слов. Вероятно, вам всё ещё интересно, почему описанные мной действия с ними дают неизменно превосходный результат.

Итак, мы заменяем в уравнении

aUxx + 2bUxy + cUyy + Φ = 0

свободные аргументы $x$ и $y$ на $s$ и $t$ , и получаем уравнение аналогичного вида:

╞aUss + 2╞bUst +╞cUtt + ╞Φ = 0,

(1)

где

2 2 2 2 ╞a = asx + 2bsxsy + csy, ╞c = atx + 2btxty + cty,

╞ b = asxtx + b(sxty + sytx) +csyty.

(2)

Пытаясь занулить $╞a$ , мы пришли к уравнению

(sx)2 sx a sy + 2bsy + c = 0.

Оказалось, что $b2 - ac < 0$ , и мы нашли такие $λ = α╠ iβ$ , что $aλ2 + 2bλ + c = 0$ . Если рассмотреть вариант $λ = α + iβ$ (для $λ = α - iβ$ получается аналогично) и раскрыть скобки, получится $aλ2 + 2bλ + c = a(α + iβ )2 +2b (α + iβ)+ c = a(α2 + 2iα β - β2)+ 2b(α + iβ )+ c = 0$ . Или, если разложить покомпонентно и уравнение с комплексной частью поделить пополам,

{ ( ) a α2 - β2 + 2bα+ c = 0, aα β + bβ = 0.

(3)

Положим теперь, что мы для найденного $λ$ решили уравнение $φx - λφy = 0$ , нашли комплексное решение $φ$ , а далее обозначили его действительную и мнимую часть как $s$ и $t$ : $φ = s + it$ . Уравнение на $φ$ приобретает тогда такой вид:

sx + itx - (α + iβ )(sy + ity) = 0,

или

sx +itx - αsy +βty - iβsy - iαty = 0.

Так как комплексное число равно нулю только тогда, когда нулевыми являются обе его части, мы можем выразить $sx$ и $tx$ :

{ sx = αsy - βty, tx = βsy + αty.

Выполним эту подстановку в $╞b$ , определённом в (2):

╞b = a(αsy - βty)(βsy + αty)+ b[(αsy - βty)ty + sy(βsy +αty)]+ csyty =

2 2 [ ( 2 2) ] = sy(aαβ + bβ)+ ty(- aα β - bβ)+ syty a α - β + 2bα + c =

( ) [ ( ) ] s2y - t2y (aα β + bβ)+ syty a α2 - β2 + 2bα + c .

Оба слагаемых равны нулю согласно (3), значит, как и было сказано, $╞b = 0$ .

Для параболических уравнений тоже существует возможность избавиться от $╞b$ . Напомню, что $s$ в этом случае находится из уравнения $sx - λsy = 0$ , что позволяет заменить $sx = λsy$ :