Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

12.09.2014

Даишев, Никитин №№ 8 и 9

Filed under: ММФ,Решения — Shine @ 2:43 дп

Уравнение №8:

x2Uxx − 2xyUxy +y2Uyy + xUx + yUy = 0.

Заметим, что тут

( { a = x2, ( b = − xy, c = y2;

так как b2 − ac = 0, уравнение относится к параболическому типу. Уравнение

2 aλ + 2bλ + c = 0

имеет один корень

b- y- λ = − a = x

На переменную s заменим функцию, которую получим, как всегда, из уравнения

dy dx = --- − λ

dx = − xdy y

dx dy ---= − -- x y

ln x = − ln y+ C˜

ln xy = C˜

xy = C

s = xy

В качестве переменной t, в силу причин, объяснённых (здесь here), можно выбрать любую независимую от s(x,y) функцию. Для простоты мы выберем t = x. Проверим якобиан:

| | | | || sx tx || || y 1 || J = | sy ty | = | x 0 | = − x ⁄= 0

везде, кроме оси y.

Произведя замену переменных, мы получим уравнение

tUtt +Ut = 0,

т.е.

∂ ∂t (tUt) = 0

или

tUt = φ(s).

Отсюда

U = φ(s)lnt+ ψ (s) = φ(xy)lnx+ ψ (xy)

(если замену взять иначе, s = y, t = xy - получится ответ как в методичке).

Просили также показать №9, но там показывать особо нечего. С учётом условий задачи, гласящих что x > 0 и y > 0, b2 − ac = xy > 0 и уравнение относится к самому обычному гиперболическому типу.

∘ y- λ = ± --, x

{ √-- -- s = √x-− √y, t = x + √y;

и после такого преобразования уравнение сводится к виду

Ust = 0,

а значит

(√-- √-) (√ -- √ -) U = φ(s)+ ψ (t) = φ x − y + ψ x+ y .

Даишев и Никитин функции преобразования выбрали наоборот.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников