Даишев, Никитин №№ 11, 12, 13 « Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

20.09.2014

Даишев, Никитин №№ 11, 12, 13

Filed under: ММФ,Решения — Shine @ 1:28 дп

Просили выложить решения к номерам 11, 12 и 13. Они решаются общим методом: заменяется искомая функция по формуле $U = μV$ , где $V$ будет новой искомой функцией, а $μ$ ищется из соображений максимального удобства. Мы будем подбирать $μ$ так, чтобы функция $V$ входила в уравнение только в виде вторых производных.

1 №11

( ) 2 -∂- x2 ∂U- = x2 ∂-U- ∂x ∂x ∂y2

(1)

Если раскрыть производную в левой части,

x2Uxx + 2xUx = x2Uyy.

Заменим $U = μV$ . Если $μ$ будет зависеть от $y$ , то производные $μ$ по $y$ в правой части не удастся скомпенсировать ничем, так что будем считать $μ = μ(x)$ . После замены

x2(μV )xx +2x (μV)x = x2 (μV )yy,

x2 (Vxxμ + 2Vxμx + V μxx)+ 2x(Vxμ +V μx) = x2μVyy,

( ) ( ) μx2Vxx + 2μxx2 + 2x μ Vx + μxxx2 +2xμx V = x2μVyy.

(2)

Будем искать такое $μ$ , чтобы в этом уравнении $V$ были только во вторых производных. Для этого необходимо, чтобы

{ 2 2x2 μx + 2xμ = 0 x μxx + 2xμx = 0

(3)

Из первого

C μ = -- x

Подставим во второе

( ) ( ) ( ) x2μ + 2xμ = x2 C- +2x C- = x22C-+ 2x −-C = 2C-− 2C-= 0, xx x x xx x x x3 x2 x x

выполняется.

С учётом вполнения (3), после замены

U = μV = CV x

уравнение (2) превратится в

x2μV = x2μV , xx yy

т.е.

Vxx = Vyy.

Дальше оно решается как обычное гиперболическое с постоянными коэффициентами, через найденное $V$ находится $U$ .

2 №12

(x − y)Uxy − Ux + Uy = 0

$U = μV$ , $μ = μ(x,y)$ Подставив и продифференцировав, получим

(x − y)(μV )xy − (μV)x + (μV )y = 0

(x− y)(μxyV + μyVx + μxVy + μVxy)− (μxV +μVx )+ (μyV + μVy ) = 0,

(4)

и в этом уравнении обнулятся коэффициенты при первых и нулевых производных $V$ при выполнении таких условий:

( { (x − y)μy − μ = 0, ( (x − y)μx + μ = 0, (x − y)μxy − μx + μy = 0

(5)

Из первого получим, что

φ (x) μ = y-−-x

и подставим во второе, чтобы получить $φ (x)$ :

( ) φ(x)- φ-(x) (x− y) y− x x + y − x = 0

( ) φ-′(x) -φ-(x)-- φ-(x)- (x − y) y − x + (y − x)2 + y− x = 0

− φ′(x)− φ-(x)+ φ(x)-= 0 y − x y− x

′ − φ (x) = 0

φ (x) = C,

-C--- μ = y− x .

μ = ---C---, μ = −---C---, μ = − 2--C---, x (y − x )2 y (y − x )2 xy (y− x)3

и третье уравнение из (5) даст

C C C 2C 2C − 2-----3 (x − y)−------2 −------2 = ------2 − ------2 = 0. (y− x) (y− x) (y − x) (y− x) (y− x)

Мы нашли такое $μ$ , которое удовлетворяет всем условиям (5). Значит, выполнив замену

CV U = μV = ----, y− x

мы сведём уравнение (4) к уравнению

(x − y)μVxy = 0,

или

Vxy = 0.

Дальнейшее понятно.

№ 13 делается аналогично 12му, причём находится, что

2 2 μ = Ce − x+y2-.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников