Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

20.02.2015

Площадь сектора

Filed under: мат. ан. сем. 2,пепел,Решения — Shine @ 6:39 пп

Я не успел вывести формулу для площади криволинейного сектора. Выкладываю этот вывод, заодно напомню его начало в более понятном виде. Кто хорошо понял начало вывода - те могут начинать читать с формулы (1).

Требуется найти площадь сектора SABC  . Она ограничена отрезками BC  и AC  , и отрезком графика функции r(φ)  , построенного в полярных координатах.

Легко будет найти площадь другой фигуры:

         ∫b
SABDF  =   ydx.
         a

Заметим, что SABDF  = SABG + SAGDF  , значит SABG = SABDF  − SAGDF  . Тогда искомое можно представить так:

SABC = SABG + SBCG = SABDF  − SAGDF + SBCG.

Используя, что

SBCG + SCDG = SBCD

и

S      +S     = S    ,
 AGDF     CDG    ACF

добавим и вычтем SCDG  и представим

SABC = SABDF  − SAGDF +SBCG  +SCDG  − SCDG = SABDF − SACF + SBCD.

Найдём по-отдельности всё нужное. В полярных координатах

{
  x = rcosφ,
   y = rsinφ;

и мы можем преобразовать

        ∫b      ∫φ1        φ∫1
                    dx-               ′
SABDF =    ydx =  y dφdφ =   (rsin φ)(r cosφ − rsinφ)dφ =
         a      φ2         φ2

    ∫φ2                           φ∫2
       ( ′            2  2  )       ( 2  2      ′        )
=  −   rr sin φcosφ − r sin φ  dφ =    r sin φ − rrsinφ cosφ dφ.
    φ1                           φ1

Теперь выразим

       1          1        1                       r2(φ )
SACF = -CF ⋅AF =  -xA⋅yA = -r(φ1)cosφ1⋅r (φ1 )sinφ1 = ----1-cosφ1 sinφ1;
       2          2        2                         2

Аналогично

       1           1         r2(φ2)
SBCD = 2BD  ⋅CD  = 2xB ⋅yB = --2---cosφ2sinφ2.

С учётом всего этого,

SABC  = SABDF − SACF + SBCD  =
(1)

  φ∫2
    ( 2  2      ′        )    r2(φ1)            r2(φ2)
=    r sin φ − rr sinφ cosφ dφ−    2  cosφ1 sinφ1+    2  cosφ2 sinφ2 =
 φ1

   φ2                                         |
  ∫  (2   2     ′         )     r2(φ)         ||φ2
=    r  sin φ − rrsinφ cosφ  dφ +   2  cosφ sinφ |φ .
  φ1                                           1

Преобразуем второе слагаемое:

 2           |φ2  ∫φ2   ( 2         )       ∫φ2
r-(φ-)cosφsinφ||  =    d-- r- cosφ sin φ  dφ = 1   d-(r2sin(2φ))dφ =
  2          |φ1  φ  dφ   2                4φ  dφ
                   1                         1

  1 φ∫2( ′          2       )     φ∫2(  ′              r2       )
= 2    rrsin(2φ)+ r cos(2φ) dφ =    rr sin (φ) cos(φ) + 2-cos(2φ) dφ.
   φ1                           φ1

Тогда

        φ                           φ
       ∫ 2( 2   2     ′        )    ∫ 2(  ′             r2       )
SABC =    r sin φ− rr sin φcosφ  dφ+    rr sin(φ)cos(φ)+ -2 cos(2φ ) dφ =
       φ1                          φ1

  φ2                           φ2
  ∫ ( 2   2    r2       )     ∫ (  2  2    r2   2    r2   2 )
=    r sin φ + 2 cos(2φ) dφ =     r sin φ +  2 cos φ − 2 sin φ  dφ =
 φ1                           φ1

   φ                          φ
  ∫ 2(r2   2    r2   2 )      ∫2r2
=     -2 sin φ + 2-cos φ  dφ =   -2 dφ,
  φ1                         φ1

что и требовалось доказать.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников