Тут некоторые вещи объяснены чуть по-другому, чем на занятии, кроме того, добавлено многое, на что не хватало времени; поэтому Ренате тоже есть смысл это почитать. Остальным читать обязательно.
Рис. 1
Пусть кривая задана графиком функции $y=f\left(x\right)$ при $x\in\left[a;b\right]$.
Приблизим кривую ломаной, концы звеньев которой лежат на графике (см.
рис. 1) и определим её длину.
В начале вычислим длину одного звена.
\[
\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1},\quad\Delta y_{k}=y_{k}-y_{k-1}.
\]
По теореме Пифагора
\[
\Delta l_{k}=\sqrt{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}+\left(\Delta y_{k}\right)^{2}}.
\]
По теореме Лагранжа $\exists\chi_{k}$, которое:
\[
x_{k-1}\leqslant\chi_{k}\leqslant x_{k},\quad\Delta y_{k}=y'\left(\chi_{k}\right)\Delta x_{k}.
\]
Тогда
\[
\Delta l_{k}=\sqrt{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}+\left(\Delta y_{k}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\Delta x_{k}\right)^{2}}=\sqrt{1+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\right)^{2}}\Delta x_{k}.
\]
Длина ломаной есть сумма длинн её звеньев:
\[
l_{N}=\sum_{k=1}^{N}\Delta l_{k}=\sum_{k=1}^{N}\sqrt{1+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\right)^{2}}\Delta x_{k}.
\]
Заметим, что эта сумма является интегральной суммой для функции $\sqrt{1+\left(y'\left(x\right)\right)^{2}}$.
Длиной кривой назовём предел длин ломаных при наибольшей проекции
звена на ось абсцисс, стремящейся к нулю:
\begin{equation}
L=\lim_{\underset{\max\Delta x_{k}\to0}{N\to\infty}}l_{N}=\lim_{\underset{\max\Delta x_{k}\to0}{N\to\infty}}\sum_{k=1}^{N}\sqrt{1+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\right)^{2}}\Delta x_{k}\equiv\intop_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}dx.\label{Lf}
\end{equation}
Пример: №2431
Найти длину графика функции в заданных пределах $x$:
\[
y=x^{3/2},\qquad0\leqslant x\leqslant4.
\]
\[
y'=\frac{3}{2}x^{1/2},
\]
\[
L=\intop_{0}^{4}\sqrt{1+\left(\frac{3}{2}x^{1/2}\right)^{2}}dx=\intop_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx=\frac{8}{27}\left.\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{3/2}\right|_{0}^{4}=\frac{8}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right).
\]
Решить самостоятельно: №2432, 2434.
