Тут некоторые вещи объяснены чуть по-другому, чем на занятии, кроме того, добавлено многое, на что не хватало времени; поэтому Ренате тоже есть смысл это почитать. Остальным читать обязательно.
Рис. 1
Пусть кривая задана графиком функции y=f(x) при x∈[a;b].
Приблизим кривую ломаной, концы звеньев которой лежат на графике (см.
рис. 1) и определим её длину.
В начале вычислим длину одного звена.
Δxk=xk−xk−1,Δyk=yk−yk−1.
По теореме Пифагора
Δlk=√(Δxk)2+(Δyk)2.
По теореме Лагранжа ∃χk, которое:
xk−1⩽
Тогда
\Delta l_{k}=\sqrt{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}+\left(\Delta y_{k}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\Delta x_{k}\right)^{2}}=\sqrt{1+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\right)^{2}}\Delta x_{k}.
Длина ломаной есть сумма длинн её звеньев:
l_{N}=\sum_{k=1}^{N}\Delta l_{k}=\sum_{k=1}^{N}\sqrt{1+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\right)^{2}}\Delta x_{k}.
Заметим, что эта сумма является интегральной суммой для функции \sqrt{1+\left(y'\left(x\right)\right)^{2}}.
Длиной кривой назовём предел длин ломаных при наибольшей проекции
звена на ось абсцисс, стремящейся к нулю:
\begin{equation}
L=\lim_{\underset{\max\Delta x_{k}\to0}{N\to\infty}}l_{N}=\lim_{\underset{\max\Delta x_{k}\to0}{N\to\infty}}\sum_{k=1}^{N}\sqrt{1+\left(y'\left(\chi_{k}\right)\right)^{2}}\Delta x_{k}\equiv\intop_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}dx.\label{Lf}
\end{equation}Пример: №2431
Найти длину графика функции в заданных пределах x:
y=x^{3/2},\qquad0\leqslant x\leqslant4.
y'=\frac{3}{2}x^{1/2},
L=\intop_{0}^{4}\sqrt{1+\left(\frac{3}{2}x^{1/2}\right)^{2}}dx=\intop_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx=\frac{8}{27}\left.\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{3/2}\right|_{0}^{4}=\frac{8}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right).
Решить самостоятельно: №2432, 2434.
