Тут некоторые вещи объяснены чуть по-другому, чем на занятии, кроме того, добавлено многое, на что не хватало времени; поэтому Ренате тоже есть смысл это почитать. Остальным читать обязательно.
Рис. 1
Пусть кривая задана графиком функции y=f(x) при x∈[a;b].
Приблизим кривую ломаной, концы звеньев которой лежат на графике (см.
рис. 1) и определим её длину.
В начале вычислим длину одного звена.
Δxk=xk−xk−1,Δyk=yk−yk−1.
По теореме Пифагора
Δlk=√(Δxk)2+(Δyk)2.
По теореме Лагранжа ∃χk, которое:
xk−1⩽χk⩽xk,Δyk=y′(χk)Δxk.
Тогда
Δlk=√(Δxk)2+(Δyk)2=√(Δxk)2+(y′(χk)Δxk)2=√1+(y′(χk))2Δxk.
Длина ломаной есть сумма длинн её звеньев:
lN=N∑k=1Δlk=N∑k=1√1+(y′(χk))2Δxk.
Заметим, что эта сумма является интегральной суммой для функции √1+(y′(x))2.
Длиной кривой назовём предел длин ломаных при наибольшей проекции
звена на ось абсцисс, стремящейся к нулю:
L=limN→∞maxΔxk→0lN=limN→∞maxΔxk→0N∑k=1√1+(y′(χk))2Δxk≡b∫a√1+(y′)2dx.Пример: №2431
Найти длину графика функции в заданных пределах x:
y=x3/2,0⩽x⩽4.y′=32x1/2,L=4∫0√1+(32x1/2)2dx=4∫0√1+94xdx=827(1+94x)3/2|40=827(10√10−1).
Решить самостоятельно: №2432, 2434.