Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Сегодня у нас совершенно не было времени доказать подробно один мелкий факт: что из бесконечной малости $a_{n+1}$ следует бесконечная малость $a_{n}$. Обобщим его и докажем, как для закрытия оставшейся дыры в рассуждениях, так и для будущего употребления.

Пусть $$\lim_{n\to\infty}a_{n+p}=C.$$ По определению предела $$\begin{equation} \forall\varepsilon>0\;\exists N:\;n>N\;\Longrightarrow\;\left|a_{n+p}-C\right|<\varepsilon.\label{eq:opr} \end{equation}$$ Но если $n>N$, то, добавляя $p$, получим $$n+p>N+p.$$ Введём обозначения $N+p\equiv M$, $n+p\equiv m$. Так как мы всегда сможем сложить два числа, $\exists N\;\Longrightarrow\;\exists M$. Пользуясь всем этим, переформулируем утверждение ($\ref{eq:opr}$): $$\forall\varepsilon>0\;\exists M:\;m>M\;\Longrightarrow\;\left|a_{m}-C\right|<\varepsilon.$$ По определению предела это означает, что $$\lim_{m\to\infty}a_{m}=C,$$ что заменой переменной $m$ на переменную $n$ приведёт нас к требуемому $$\lim_{n\to\infty}a_{n}=C.$$