Разложить функцию
y=xex−1
в ряд Тейлора до x4.
Заметим для начала, что саму функцию (
1) разложить невозможно:
в нуле, вокруг которого её полагается раскладывать, она не существует
вместе со всеми её производными, так как её знаменатель обращается
в ноль. Но если её (вместе с производными) доопределить в нуле пределом,
то есть считать
y(n)(0)=limx→0y(n)(x),n=0,1,2…,
то такую доопределённую функцию разложить можно. Причём значения в
нуле у производных можно найти при помощи двух уже известных вам вещей:
первого следствия второго замечательного предела
limx→0ex−1x=1
и разложения
ex по формуле Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано
ex=n∑k=0xkk!+o(xn),limx→0o(xn)xn=0.
Для нулевой производной
y(0)=limx→0xex−1=1limx→0ex−1x=1.
Теперь вычислим первую производную
y′=ex−1−xex(ex−1)2
и её значение в нуле. Сначала упростим знаменатель, пользуясь (
2):
y′(0)=limx→0ex−1−xex(ex−1)2=limx→0ex−1−xexx2x2(ex−1)2=limx→0ex−1−xexx2limx→01(ex−1x)2=limx→0ex−1−xexx2.
Если в уравнении (
3) положить
n=2, получим
ex=1+x+x22+o(x2),limx→0o(x2)x2=0.
Воспользовавшись этим, запишем
y′(0)=limx→0(1+x+x22+o(x2))−1−x(1+x+x22+o(x2))x2=
=limx→01+x+x22+o(x2)−1−x−x2−x32−xo(x2)x2=limx→0−x22−x32+o(x2)−xo(x2)x2=limx→0(−12−x2+o(x2)x2−o(x2)x2x)=−12.
Для второй производной понадобится положить
n=3:
ex=1+x+x22+x36+o(x3),limx→0o(x3)x3=0.
y″=(ex−1−xex(ex−1)2)′=(ex−1−xex)′(ex−1)2−(ex−1−xex)[(ex−1)2]′(ex−1)4=−xex(ex−1)2−(ex−1−xex)2(ex−1)ex(ex−1)4=
=−xex(ex−1)−2ex(ex−1−xex)(ex−1)3=−xe2x+xex−2e2x+2ex+2xe2x(ex−1)3=2ex+xex−2e2x+xe2x(ex−1)3,
e2x=1+2x+2x2+43x3+o((2x)3),limx→0o((2x)3)(2x)3=0,
limx→0o((2x)3)x3=limx→0o((2x)3)(2x)3(2x)3x3=0⋅8=0⟹o((2x)3)=o(x3),
y″(0)=limx→02ex+xex−2e2x+xe2x(ex−1)3=limx→02ex+xex−2e2x+xe2xx3=
=limx→01x3[2(1+x+x22+x36+o(x3))+x(1+x+x22+x36+o(x3))
−2(1+2x+2x2+43x3+o(x3))+x(1+2x+2x2+43x3+o(x3))]=
=limx→01x3[2+2x+x2+x33+2⋅o(x3)+x+x2+x32+x46+x⋅o(x3)
−2−4x−4x2−83x3−o(x3)+x+2x2+2x3+43x4+x⋅o(x3)]=
=limx→01x3[(2−2)+(2x+x−4x+x)+(x2+x2−4x2+2x2)+(x33+x32−83x3+2x3)
+(x46+43x4)]+limx→0[2⋅o(x3)x3+x⋅o(x3)x3−o(x3)x3+x⋅o(x3)x3]=
=limx→0[(13+12−83+2)+(x6+43x)]=16.
Вычислив аналогичным путём
y(3)(0) и
y(4)(0),
можно подставить их в формулу Тейлора и получить искомое разложение.
