Разложить функцию
\begin{equation}
y=\frac{x}{e^{x}-1}\label{eq:fun}
\end{equation}
в ряд Тейлора до $x^{4}$.
Заметим для начала, что саму функцию (\ref{eq:fun}) разложить невозможно:
в нуле, вокруг которого её полагается раскладывать, она не существует
вместе со всеми её производными, так как её знаменатель обращается
в ноль. Но если её (вместе с производными) доопределить в нуле пределом,
то есть считать
\[
y^{(n)}\left(0\right)=\lim_{x\to0}y^{(n)}\left(x\right),\qquad n=0,1,2\dots,
\]
то такую доопределённую функцию разложить можно. Причём значения в
нуле у производных можно найти при помощи двух уже известных вам вещей:
первого следствия второго замечательного предела
\begin{equation}
\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\label{svo}
\end{equation}
и разложения $e^{x}$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано
\begin{equation}
e^{x}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o\left(x^{n}\right),\qquad\lim_{x\to0}\frac{o\left(x^{n}\right)}{x^{n}}=0.\label{erazl}
\end{equation}
Для нулевой производной
\[
y\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{x}{e^{x}-1}=\frac{1}{\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}}=1.
\]
Теперь вычислим первую производную
\[
y'=\frac{e^{x}-1-xe^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}
\]
и её значение в нуле. Сначала упростим знаменатель, пользуясь (\ref{svo}):
\[
y'\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-xe^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-xe^{x}}{x^{2}}\frac{x^{2}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-xe^{x}}{x^{2}}\lim_{x\to0}\frac{1}{\left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-xe^{x}}{x^{2}}.
\]
Если в уравнении (\ref{erazl}) положить $n=2$, получим
\[
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right),\qquad\lim_{x\to0}\frac{o\left(x^{2}\right)}{x^{2}}=0.
\]
Воспользовавшись этим, запишем
\[
y'\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)\right)-1-x\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{x^{2}}=
\]
\[
=\lim_{x\to0}\frac{1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)-1-x-x^{2}-\frac{x^{3}}{2}-xo\left(x^{2}\right)}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{2}+o\left(x^{2}\right)-xo\left(x^{2}\right)}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+\frac{o\left(x^{2}\right)}{x^{2}}-\frac{o\left(x^{2}\right)}{x^{2}}x\right)=-\frac{1}{2}.
\]
Для второй производной понадобится положить $n=3$:
\[
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right),\qquad\lim_{x\to0}\frac{o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=0.
\]
\[
y''=\left(\frac{e^{x}-1-xe^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}\right)^{'}=\frac{\left(e^{x}-1-xe^{x}\right)'\left(e^{x}-1\right)^{2}-\left(e^{x}-1-xe^{x}\right)\left[\left(e^{x}-1\right)^{2}\right]^{'}}{\left(e^{x}-1\right)^{4}}=\frac{-xe^{x}\left(e^{x}-1\right)^{2}-\left(e^{x}-1-xe^{x}\right)2\left(e^{x}-1\right)e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{4}}=
\]
\[
=\frac{-xe^{x}\left(e^{x}-1\right)-2e^{x}\left(e^{x}-1-xe^{x}\right)}{\left(e^{x}-1\right)^{3}}=\frac{-xe^{2x}+xe^{x}-2e^{2x}+2e^{x}+2xe^{2x}}{\left(e^{x}-1\right)^{3}}=\frac{2e^{x}+xe^{x}-2e^{2x}+xe^{2x}}{\left(e^{x}-1\right)^{3}},
\]
\[
e^{2x}=1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+o\left(\left(2x\right)^{3}\right),\qquad\lim_{x\to0}\frac{o\left(\left(2x\right)^{3}\right)}{\left(2x\right)^{3}}=0,
\]
\[
\lim_{x\to0}\frac{o\left(\left(2x\right)^{3}\right)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{o\left(\left(2x\right)^{3}\right)}{\left(2x\right)^{3}}\frac{\left(2x\right)^{3}}{x^{3}}=0\cdot8=0\quad\Longrightarrow\quad o\left(\left(2x\right)^{3}\right)=o\left(x^{3}\right),
\]
\[
y''\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{2e^{x}+xe^{x}-2e^{2x}+xe^{2x}}{\left(e^{x}-1\right)^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{2e^{x}+xe^{x}-2e^{2x}+xe^{2x}}{x^{3}}=
\]
\[
=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{3}}\left[2\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)\right)+x\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)\right)\right.
\]
\[
-\left.2\left(1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)+x\left(1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)\right]=
\]
\[
=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{3}}\left[2+2x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+2\cdot o\left(x^{3}\right)+x+x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{6}+x\cdot o\left(x^{3}\right)\right.
\]
\[
\left.-2-4x-4x^{2}-\frac{8}{3}x^{3}-o\left(x^{3}\right)+x+2x^{2}+2x^{3}+\frac{4}{3}x^{4}+x\cdot o\left(x^{3}\right)\right]=
\]
\[
=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{3}}\left[\left(2-2\right)+\left(2x+x-4x+x\right)+\left(x^{2}+x^{2}-4x^{2}+2x^{2}\right)+\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{3}}{2}-\frac{8}{3}x^{3}+2x^{3}\right)\right.
\]
\[
\left.+\left(\frac{x^{4}}{6}+\frac{4}{3}x^{4}\right)\right]+\lim_{x\to0}\left[2\cdot\frac{o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}+x\cdot\frac{o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}-\frac{o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}+x\cdot\frac{o\left(x^{3}\right)}{x^{3}}\right]=
\]
\[
=\lim_{x\to0}\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{8}{3}+2\right)+\left(\frac{x}{6}+\frac{4}{3}x\right)\right]=\frac{1}{6}.
\]
Вычислив аналогичным путём $y^{\left(3\right)}\left(0\right)$ и $y^{\left(4\right)}\left(0\right)$,
можно подставить их в формулу Тейлора и получить искомое разложение.
