Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Я вчера неправильно описал интересовавшимся товарищам повёрнутый эллипс в общем случае.

Запишем уравнение эллипса с полуосями $p$ и $q$ в полярных координатах \[ \frac{x^{2}}{p^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 \] \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\varphi\\ y=r\sin\varphi \end{array}\right.\label{pol} \end{equation} \[ r^{2}\left(\frac{\cos^{2}\varphi}{p^{2}}+\frac{\sin^{2}\varphi}{q^{2}}\right)=1 \] \[ r^{2}=\frac{1}{\frac{\cos^{2}\varphi}{p^{2}}+\frac{\sin^{2}\varphi}{q^{2}}} \] Вычтя из $\varphi$ постоянный угол $\alpha$, получим уравнение повёрнутого на угол $\alpha$ эллипса: \[ r^{2}=\frac{1}{\frac{\cos^{2}\left(\varphi-\alpha\right)}{p^{2}}+\frac{\sin^{2}\left(\varphi-\alpha\right)}{q^{2}}} \] В задаче 4238 рассматривается пересечение сферы и плоскости, которое, разумеется, является окружностью \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\\ x+y+z=0. \end{array}\right.\label{contour} \end{equation} Однако проекция этой окружности на плоскость $xy$ является эллипсом, что мы покажем ниже. Для этого выразим из второго уравнения \begin{equation} z=-x-y,\label{zis} \end{equation} и подставим в первое \[ x^{2}+y^{2}+\left(-x-y\right)^{2}=a^{2}, \] \[ 2x^{2}+2xy+2y^{2}=a^{2}. \] Переведём уравнение в полярные координаты: \[ 2r^{2}\cos^{2}\varphi+2r^{2}\cos\varphi\sin\varphi+2r^{2}\sin^{2}\varphi=a^{2} \] \[ r^{2}\left(2+2\cos\varphi\sin\varphi\right)=a^{2} \] \[ r^{2}=\frac{a^{2}}{2+2\cos\varphi\sin\varphi}=\frac{a^{2}}{2+\sin2\varphi}=\frac{a^{2}}{2+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\varphi\right)}=\frac{a^{2}}{2+\cos\left(2\left[\varphi-\frac{\pi}{4}\right]\right)}= \] \[ =\frac{a^{2}}{2\left\{ \cos^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)+\sin^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)\right\} +\cos^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)-\sin^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)}= \] \[ =\frac{1}{\frac{3}{a^{2}}\cos^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{a^{2}}\sin^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)} \] Это - уравнение эллипса, повёрнутого на $\frac{\pi}{4}$ и с полуосями $\frac{a}{\sqrt{3}}$ и $a$. Так как \[ r=\frac{a}{\sqrt{2+\sin2\varphi}}, \] мы можем, применяя (\ref{pol}) и (\ref{zis}) параметризовать весь контур так: \[ \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{a\cos\varphi}{\sqrt{2+\sin2\varphi}},\\ y=\frac{a\sin\varphi}{\sqrt{2+\sin2\varphi}},\\ z=-a\frac{\cos\varphi+\sin\varphi}{\sqrt{2+\sin2\varphi}}. \end{array}\right. \]