Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Я вчера неправильно описал интересовавшимся товарищам повёрнутый эллипс в общем случае.

Запишем уравнение эллипса с полуосями $p$ и $q$ в полярных координатах $$\frac{x^{2}}{p^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1$$ $$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\varphi\\ y=r\sin\varphi \end{array}\right.\label{pol} \end{equation}$$ $$r^{2}\left(\frac{\cos^{2}\varphi}{p^{2}}+\frac{\sin^{2}\varphi}{q^{2}}\right)=1$$ $$r^{2}=\frac{1}{\frac{\cos^{2}\varphi}{p^{2}}+\frac{\sin^{2}\varphi}{q^{2}}}$$ Вычтя из $\varphi$ постоянный угол $\alpha$, получим уравнение повёрнутого на угол $\alpha$ эллипса: $$r^{2}=\frac{1}{\frac{\cos^{2}\left(\varphi-\alpha\right)}{p^{2}}+\frac{\sin^{2}\left(\varphi-\alpha\right)}{q^{2}}}$$ В задаче 4238 рассматривается пересечение сферы и плоскости, которое, разумеется, является окружностью $$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\\ x+y+z=0. \end{array}\right.\label{contour} \end{equation}$$ Однако проекция этой окружности на плоскость $xy$ является эллипсом, что мы покажем ниже. Для этого выразим из второго уравнения $$\begin{equation} z=-x-y,\label{zis} \end{equation}$$ и подставим в первое $$x^{2}+y^{2}+\left(-x-y\right)^{2}=a^{2},$$ $$2x^{2}+2xy+2y^{2}=a^{2}.$$ Переведём уравнение в полярные координаты: $$2r^{2}\cos^{2}\varphi+2r^{2}\cos\varphi\sin\varphi+2r^{2}\sin^{2}\varphi=a^{2}$$ $$r^{2}\left(2+2\cos\varphi\sin\varphi\right)=a^{2}$$ $$r^{2}=\frac{a^{2}}{2+2\cos\varphi\sin\varphi}=\frac{a^{2}}{2+\sin2\varphi}=\frac{a^{2}}{2+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\varphi\right)}=\frac{a^{2}}{2+\cos\left(2\left[\varphi-\frac{\pi}{4}\right]\right)}=$$ $$=\frac{a^{2}}{2\left\{ \cos^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)+\sin^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)\right\} +\cos^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)-\sin^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)}=$$ $$=\frac{1}{\frac{3}{a^{2}}\cos^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{a^{2}}\sin^{2}\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)}$$ Это - уравнение эллипса, повёрнутого на $\frac{\pi}{4}$ и с полуосями $\frac{a}{\sqrt{3}}$ и $a$. Так как $$r=\frac{a}{\sqrt{2+\sin2\varphi}},$$ мы можем, применяя ($\ref{pol}$) и ($\ref{zis}$) параметризовать весь контур так: $$\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{a\cos\varphi}{\sqrt{2+\sin2\varphi}},\\ y=\frac{a\sin\varphi}{\sqrt{2+\sin2\varphi}},\\ z=-a\frac{\cos\varphi+\sin\varphi}{\sqrt{2+\sin2\varphi}}. \end{array}\right.$$