Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Не успел показать в гр. 06-712, шлю вдогонку.

Воспользуемся формулой:
$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.$$
$$\mathrm{arctg}’\,x=\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n},$$
$$\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}+C.$$
При $x=0$:
$$\mathrm{arctg}\,0=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}0^{2n+1}+C,$$
$$0=0+C,$$
$$C=0.$$
Итого
$$\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}.$$