Не успел показать в гр. 06-712, шлю вдогонку.
Воспользуемся формулой:
\[
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
\]
\[
\mathrm{arctg}’\,x=\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n},
\]
\[
\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}+C.
\]
При $x=0$:
\[
\mathrm{arctg}\,0=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}0^{2n+1}+C,
\]
\[
0=0+C,
\]
\[
C=0.
\]
Итого
\[
\mathrm{arctg}\,x=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}.
\]
