Я пропустил строгое доказательство этого свойства, ограничившись геометрическими рассуждениями. Теперь можно восполнить это упущение.
Пусть
a<x0<b
и
|x−x0|<min(|a−x0|,|b−x0|).
Докажем, что
a<x<b.
Заметим два обстоятельства. Во-первых,
min(|a−x0|,|b−x0|)⩽|a−x0|,min(|a−x0|,|b−x0|)⩽|b−x0|.
А во-вторых, в силу (1)
b−x0>0,a−x0<0
откуда
|b−x0|=b−x0,|a−x0|=−a+x0.
Рассмотрим сначала случай, когда x⩾x0. Тогда |x−x0|=x−x0,
и (2) приобретает такой вид:
x−x0<min(|a−x0|,|b−x0|)⩽|b−x0|=b−x0.
Укоротим цепочку неравенств:
x−x0<b−x0,
Прибавим к обеим частям x0:
x<b;
теперь сопоставим (1) и рассматриваемый случай:
a<x0<x.
Объединив (3) и (4), получим искомое
a<x<b.
Аналогично для x<x0:
−x+x0<min(|a−x0|,|b−x0|)⩽|a−x0|=−a+x0,
−x+x0<−a+x0,
−x<−a,
a<x,
x<x0<b,
a<x<b.
