Я пропустил строгое доказательство этого свойства, ограничившись геометрическими рассуждениями. Теперь можно восполнить это упущение.
Пусть
\begin{equation}
a < x_{0} < b\label{us1}
\end{equation}
и
\begin{equation}
\left|x-x_{0}\right| < \min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right).
\label{us2}
\end{equation}
Докажем, что
\[
a < x < b.
\]
Заметим два обстоятельства. Во-первых,
\[
\min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|a-x_{0}\right|,\quad\min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|b-x_{0}\right|.
\]
А во-вторых, в силу (\ref{us1})
\[
b-x_{0} > 0,\quad a-x_{0} < 0
\]
откуда
\[
\left|b-x_{0}\right|=b-x_{0},\quad\left|a-x_{0}\right|=-a+x_{0}.
\]
Рассмотрим сначала случай, когда $x\geqslant x_{0}$. Тогда $\left|x-x_{0}\right|=x-x_{0}$,
и (\ref{us2}) приобретает такой вид:
\[
x-x_{0} < \min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|b-x_{0}\right|=b-x_{0}.
\]
Укоротим цепочку неравенств:
\[
x-x_{0} < b-x_{0},
\]
Прибавим к обеим частям $x_{0}$:
\begin{equation}
x < b;\label{res1}
\end{equation}
теперь сопоставим (\ref{us1}) и рассматриваемый случай:
\begin{equation}
a < x_{0} < x.\label{res2}
\end{equation}
Объединив (\ref{res1}) и (\ref{res2}), получим искомое
\[
a < x < b.
\]
Аналогично для $x < x_{0}$:
\[
-x+x_{0} < \min\left(\left|a-x_{0}\right|,\left|b-x_{0}\right|\right)\leqslant\left|a-x_{0}\right|=-a+x_{0},
\]
\[
-x+x_{0} < -a+x_{0},
\]
\[
-x < -a,
\]
\[
a < x,
\]
\[
x < x_{0} < b,
\]
\[
a < x < b.
\]
