Задача у народа плохо пошла, поэтому выкладываю. Площадь сечения найдена без интегралов, из соображений школьной геометрии.
Найти объём, ограниченный поверхностями
x2+y2+z2=a2,x2+y2=ax.
Заметим сразу, что задача неоднозначна. Первое уравнение описывает сферу, а второе — цилиндрическую поверхность, проходящую через эту сферу, и эти поверхности ограничивают две фигуры конечного объёма: снаружи и внутри цилиндрической поверхности. Мы будем искать объём той, что внутри. Судя по ответу, Б.П. Демидович хотел от нас именно этого.
Рассмотрим сечение, перпендикулярное оси z, т.е. в уравнениях выше z=const. Из первого уравнения следует, что −a⩽z⩽a; само же оно приводимо к виду
x2+y2=a2−z2=√a2−z22
и задаёт на плоскости z=const окружность радиуса √a2−z2 и центром в точке (0,0).
Второе описывает одинаковую фигуру при любом z. Приведём его к каноническому виду:
x2−ax+y2=0,
x2−2a2x+y2=0,
x2−2a2x+(a2)2+y2=(a2)2,
(x−a2)2+y2=(a2)2.
Это уравнение задаёт на плоскости z=const окружность радиуса a2 и с центром в точке (a2,0). Обе эти окружности изображены на рис. 1. Сечение фигуры, объём которой требуется найти, ограничено дугами обеих окружностей, и его можно назвать криволинейным двухугольником EG.
Найдём сначала длину отрезка CF, которая неоднократно понадобится в будущем. Эта длина равна абсциссе точки F, а последняя совпадает с таковой для точек E и G. Точки E и G являются точками пересечения окружностей, заданных исходными уравнениями, и их координаты находятся из соответствующей системы
−{x2+y2+z2=a2,x2+y2=ax;
z2=a2−ax,
x=CF=a−z2a.
При этом EF находится по теореме Пифагора:
EF=GF=√CE2−CF2=√a2−z2−(a−z2a)2=√a2−z2−(a2−2z2+z4a2)=√z2−z4a2=|z|√1−z2a2.
Площадь этого сечения составим из площадей сегментов, каждый из которых ограничен с одной стороны дугой, а с другой — отрезком EG: EDG и ECG. Площадь сегмента EDG получим вычитанием из площади сектора ECGD площади треугольника △EGC; при этом площадь сектора ECDG составляет часть площади круга с радиусом CE=√a2−z2, пропорциональную углу 2α, а площадь треугольника находится традиционно:
SEDG=SECGD−SEGC=πCE2⋅2α2π−12CF⋅EG=CE2arccosCFCE−CF⋅EF=
=(a2−z2)arccosa−z2a√a2−z2−(a−z2a)⋅|z|√1−z2a2=(a2−z2)(arccos√1−z2a2−|z|a⋅√1−z2a2).
Площадь сегмента ECG, напротив, находится сложением площадей сектора ECGA и треугольника △EGA:
SECG=SECGA+SEGA=πAE2⋅2∠EAC2π+12AF⋅EG=AE2⋅(π−∠EAF)+(CF−AC)⋅EF=
=AE2⋅(π−arccosAFAE)+(CF−AC)⋅EF=AE2⋅(π−arccosCF−ACAE)+(CF−AC)⋅EF=
=(a2)2⋅(π−arccosa−z2a−a2a2)+(a−z2a−a2)⋅|z|√1−z2a2=
=(a2)2⋅[π−arccos(1−2z2a2)]+a|z|2(1−2z2a2)⋅√1−z2a2.
Вся площадь сечения
S(z)=SEDG+SECG=
=(a2−z2)(arccos√1−z2a2−|z|a⋅√1−z2a2)+(a2)2⋅[π−arccos(1−2z2a2)]+a|z|2(1−2z2a2)⋅√1−z2a2=
=π(a2)2−(a2)2arccos(1−2z2a2)+(a2−z2)arccos√1−z2a2−a2|z|⋅√1−z2a2
Можно заметить, что S(−z)=S(z), поэтому
V=a∫−aS(z)dz=2a∫0S(z)dz=
=2a∫0[π(a2)2−(a2)2arccos(1−2z2a2)+(a2−z2)arccos√1−z2a2−a2z⋅√1−z2a2]dz=
=2[π(a2)2z+a36⋅(1−z2a2)3/2]|a0−a22a∫0arccos(1−2z2a2)dz+2a∫0(a2−z2)arccos√1−z2a2dz=
za=t, z=at, dz=adt:
=(π2−13)a3−a321∫0arccos(1−2t2)dt+2a31∫0(1−t2)arccos√1−t2dt.
Вычислим интегралы по отдельности:
1∫0arccos(1−2t2)dt=1∫0t′arccos(1−2t2)dt=tarccos(1−2t2)|10−1∫0tarccos(1−2t2)′dt=
=π−1∫0t−1√1−(1−2t2)2(−4t)dt=π−21∫0t√1−t2dt=π+2√1−t2|10=π−2,
и второй:
1∫0(1−t2)arccos√1−t2dt=1∫0(t−t33)′arccos√1−t2dt=(t−t33)arccos√1−t2|10−1∫0(t−t33)arccos√1−t2′dt=
=π3−1∫0(t−t33)−1√1−√1−t22√1−t2′dt=π3−1∫0(t−t33)−1t−2t2√1−t2dt=π3−131∫03−t2√1−t2tdt=
1−t2=s, −2tdt=ds
=π3+160∫12+s√sds=π3−161∫0(2s−12+s12)ds=π3−16(2s1212+s3232)|10=π3−16(4+23)=π3−79.
Итого,
V=(π2−13)a3−a321∫0arccos(1−2t2)dt+2a31∫0(1−t2)arccos√1−t2dt=
=(π2−13)a3−a32(π−2)+2a3(π3−79)=(2π3−89)a3.
