Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Задача у народа плохо пошла, поэтому выкладываю. Площадь сечения найдена без интегралов, из соображений школьной геометрии.

Найти объём, ограниченный поверхностями
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\qquad x^{2}+y^{2}=ax.$$

Заметим сразу, что задача неоднозначна. Первое уравнение описывает сферу, а второе — цилиндрическую поверхность, проходящую через эту сферу, и эти поверхности ограничивают две фигуры конечного объёма: снаружи и внутри цилиндрической поверхности. Мы будем искать объём той, что внутри. Судя по ответу, Б.П. Демидович хотел от нас именно этого.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное оси $z$, т.е. в уравнениях выше $z=const$. Из первого уравнения следует, что $-a\leqslant z\leqslant a$; само же оно приводимо к виду
$$x^{2}+y^{2}=a^{2}-z^{2}=\sqrt{a^{2}-z^{2}}^{2}$$
и задаёт на плоскости $z=const$ окружность радиуса $\sqrt{a^{2}-z^{2}}$ и центром в точке $\left(0,0\right)$.

Второе описывает одинаковую фигуру при любом $z$. Приведём его к каноническому виду:
$$x^{2}-ax+y^{2}=0,$$
$$x^{2}-2\frac{a}{2}x+y^{2}=0,$$
$$x^{2}-2\frac{a}{2}x+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2},$$
$$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}.$$
Это уравнение задаёт на плоскости $z=const$ окружность радиуса $\frac{a}{2}$ и с центром в точке $\left(\frac{a}{2},0\right)$. Обе эти окружности изображены на рис. 1. Сечение фигуры, объём которой требуется найти, ограничено дугами обеих окружностей, и его можно назвать криволинейным двухугольником $EG$.

Найдём сначала длину отрезка $CF$, которая неоднократно понадобится в будущем. Эта длина равна абсциссе точки $F$, а последняя совпадает с таковой для точек $E$ и $G$. Точки $E$ и $G$ являются точками пересечения окружностей, заданных исходными уравнениями, и их координаты находятся из соответствующей системы
$$-\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\\ x^{2}+y^{2}=ax; \end{array}\right.$$
$$z^{2}=a^{2}-ax,$$
$$x=CF=a-\frac{z^{2}}{a}.$$
При этом $EF$ находится по теореме Пифагора:
$$EF=GF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{a^{2}-z^{2}-\left(a-\frac{z^{2}}{a}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}-z^{2}-\left(a^{2}-2z^{2}+\frac{z^{4}}{a^{2}}\right)}=\sqrt{z^{2}-\frac{z^{4}}{a^{2}}}=\left|z\right|\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}.$$

Площадь этого сечения составим из площадей сегментов, каждый из которых ограничен с одной стороны дугой, а с другой — отрезком $EG$: $EDG$ и $ECG$. Площадь сегмента $EDG$ получим вычитанием из площади сектора $ECGD$ площади треугольника $\triangle EGC$; при этом площадь сектора $ECDG$ составляет часть площади круга с радиусом $CE=\sqrt{a^{2}-z^{2}}$, пропорциональную углу $2\alpha$, а площадь треугольника находится традиционно:
$$S_{EDG}=S_{ECGD}-S_{EGC}=\pi CE^{2}\cdot\frac{2\alpha}{2\pi}-\frac{1}{2}CF\cdot EG=CE^{2}\arccos\frac{CF}{CE}-CF\cdot EF=$$
$$=\left(a^{2}-z^{2}\right)\arccos\frac{a-\frac{z^{2}}{a}}{\sqrt{a^{2}-z^{2}}}-\left(a-\frac{z^{2}}{a}\right)\cdot\left|z\right|\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}=\left(a^{2}-z^{2}\right)\left(\arccos\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}-\frac{\left|z\right|}{a}\cdot\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}\right).$$
Площадь сегмента $ECG$, напротив, находится сложением площадей сектора $ECGA$ и треугольника $\triangle EGA$:
$$S_{ECG}=S_{ECGA}+S_{EGA}=\pi AE^{2}\cdot\frac{2\angle EAC}{2\pi}+\frac{1}{2}AF\cdot EG=AE^{2}\cdot\left(\pi-\angle EAF\right)+\left(CF-AC\right)\cdot EF=$$
$$=AE^{2}\cdot\left(\pi-\arccos\frac{AF}{AE}\right)+\left(CF-AC\right)\cdot EF=AE^{2}\cdot\left(\pi-\arccos\frac{CF-AC}{AE}\right)+\left(CF-AC\right)\cdot EF=$$
$$=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\cdot\left(\pi-\arccos\frac{a-\frac{z^{2}}{a}-\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}\right)+\left(a-\frac{z^{2}}{a}-\frac{a}{2}\right)\cdot\left|z\right|\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}=$$
$$=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\cdot\left[\pi-\arccos\left(1-2\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)\right]+\frac{a\left|z\right|}{2}\left(1-2\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)\cdot\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}.$$
Вся площадь сечения
$$S\left(z\right)=S_{EDG}+S_{ECG}=$$
$$=\left(a^{2}-z^{2}\right)\left(\arccos\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}-\frac{\left|z\right|}{a}\cdot\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}\right)+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\cdot\left[\pi-\arccos\left(1-2\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)\right]+\frac{a\left|z\right|}{2}\left(1-2\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)\cdot\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}=$$
$$=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\arccos\left(1-2\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)+\left(a^{2}-z^{2}\right)\arccos\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}-\frac{a}{2}\left|z\right|\cdot\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}$$
Можно заметить, что $S\left(-z\right)=S\left(z\right)$, поэтому
$$V=\intop_{-a}^{a}S\left(z\right)dz=2\intop_{0}^{a}S\left(z\right)dz=$$
$$=2\intop_{0}^{a}\left[\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\arccos\left(1-2\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)+\left(a^{2}-z^{2}\right)\arccos\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}-\frac{a}{2}z\cdot\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}\right]dz=$$
$$=2\left.\left[\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}z+\frac{a^{3}}{6}\cdot\left(1-\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)^{3/2}\right]\right|_{0}^{a}-\frac{a^{2}}{2}\intop_{0}^{a}\arccos\left(1-2\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)dz+2\intop_{0}^{a}\left(a^{2}-z^{2}\right)\arccos\sqrt{1-\frac{z^{2}}{a^{2}}}dz=$$
$\frac{z}{a}=t$, $z=at$, $dz=adt$:
$$=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\right)a^{3}-\frac{a^{3}}{2}\intop_{0}^{1}\arccos\left(1-2t^{2}\right)dt+2a^{3}\intop_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)\arccos\sqrt{1-t^{2}}dt.$$
Вычислим интегралы по отдельности:
$$\intop_{0}^{1}\arccos\left(1-2t^{2}\right)dt=\intop_{0}^{1}t’\arccos\left(1-2t^{2}\right)dt=\left.t\arccos\left(1-2t^{2}\right)\right|_{0}^{1}-\intop_{0}^{1}t\arccos\left(1-2t^{2}\right)^{\prime}dt=$$
$$=\pi-\intop_{0}^{1}t\frac{-1}{\sqrt{1-\left(1-2t^{2}\right)^{2}}}\left(-4t\right)dt=\pi-2\intop_{0}^{1}\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}dt=\pi+\left.2\sqrt{1-t^{2}}\right|_{0}^{1}=\pi-2,$$
и второй:
$$\intop_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)\arccos\sqrt{1-t^{2}}dt=\intop_{0}^{1}\left(t-\frac{t^{3}}{3}\right)^{\prime}\arccos\sqrt{1-t^{2}}dt=\left.\left(t-\frac{t^{3}}{3}\right)\arccos\sqrt{1-t^{2}}\right|_{0}^{1}-\intop_{0}^{1}\left(t-\frac{t^{3}}{3}\right)\arccos\sqrt{1-t^{2}}^{\prime}dt=$$
$$=\frac{\pi}{3}-\intop_{0}^{1}\left(t-\frac{t^{3}}{3}\right)\frac{-1}{\sqrt{1-\sqrt{1-t^{2}}^{2}}}\sqrt{1-t^{2}}^{\prime}dt=\frac{\pi}{3}-\intop_{0}^{1}\left(t-\frac{t^{3}}{3}\right)\frac{-1}{t}\frac{-2t}{2\sqrt{1-t^{2}}}dt=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\intop_{0}^{1}\frac{3-t^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}}tdt=$$
$1-t^{2}=s$, $-2tdt=ds$
$$=\frac{\pi}{3}+\frac{1}{6}\intop_{1}^{0}\frac{2+s}{\sqrt{s}}ds=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{6}\intop_{0}^{1}\left(2s^{-\frac{1}{2}}+s^{\frac{1}{2}}\right)ds=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{6}\left.\left(2\frac{s^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{s^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right)\right|_{0}^{1}=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{6}\left(4+\frac{2}{3}\right)=\frac{\pi}{3}-\frac{7}{9}.$$
Итого,
$$V=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\right)a^{3}-\frac{a^{3}}{2}\intop_{0}^{1}\arccos\left(1-2t^{2}\right)dt+2a^{3}\intop_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)\arccos\sqrt{1-t^{2}}dt=$$
$$=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\right)a^{3}-\frac{a^{3}}{2}\left(\pi-2\right)+2a^{3}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{7}{9}\right)=\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{8}{9}\right)a^{3}.$$