Найти область интегрируемости для интеграла
\begin{equation}
\intop_{0}^{\infty}\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}dx.\label{main}
\end{equation}
Рассмотрим сначала вспомогательный интеграл
\begin{equation}
\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\beta}}dx\label{int_vspom}
\end{equation}
1) $\alpha<0$. В этом случае всё подынтегральное выражение положительно,
и можно применять соответствующие признаки, например, признаки сравнения.
\[
0<\sin x^{\alpha}\leqslant\sin1<1,\qquad\lim_{x\to\infty}\sin x^{\alpha}=0
\]
\[
\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\beta}}>0,\quad\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\alpha}}=1
\]
Рассмотрим предел
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\beta}}}{x^{\gamma}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\alpha}}\frac{x^{\alpha}}{x^{\gamma+\beta}}=\lim_{x\to\infty}x^{\alpha-\gamma-\beta}
\]
Этот предел существует и больше нуля только при одном значении степени:
\[
\alpha-\beta-\gamma=0
\]
\[
\alpha-\beta=\gamma
\]
Таким образом по второму признаку сравнения, интеграл функции $\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\beta}}$ сходится одновременно с интегралом функции $x^{\gamma}=x^{\alpha-\beta}$. Найдём область сходимости последнего:
\[
\intop_{1}^{\infty}x^{\alpha-\beta}dx=\left.\frac{x^{\alpha-\beta+1}}{\alpha-\beta+1}\right|_{1}^{\infty},
\]
что определено только при $\alpha-\beta+1<0$ (равенству нулю мешает
знаменатель), а значит, при $\alpha<0$ интеграл $\intop_{1}^{\infty}x^{\alpha-\beta}dx$
(а значит, и интеграл (\ref{int_vspom})) сходится, если
\[
\beta>\alpha+1.
\]
2) $\alpha=0$. Тогда
\[
\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\beta}}dx=\sin1\intop_{1}^{\infty}x^{-\beta}dx=\left.\frac{x^{1-\beta}}{1-\beta}\right|_{1}^{\infty},
\]
что определено при
\[
1-\beta<0,
\]
т.е. мы можем обобщить на этот случай результат предыдущего случая:
\[
\beta>1=\alpha+1.
\]
3) $\alpha>0$. Для этого случая тоже сначала рассмотрим вспомогательный случай, результат для которого потом обобщим. Пусть сначала $\alpha=1$:
\[
\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\beta}}dx=\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{\beta}}dx.
\]
Легко видеть, что при $\beta<0$ множитель $\frac{1}{x^{\beta}}$
стремится к бесконечности, а интеграл – расходится по критерию Коши.
При $\beta=0$:
\[
\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{\beta}}dx=\intop_{1}^{\infty}\sin xdx=\left.\cos x\right|_{1}^{\infty}\text{ — расходится}
\]
$\beta>0$: тогда $\frac{1}{x^{\beta}}$ монотонно стремится к нулю, а $\sin x$ имеет ограниченную первообразную, следовательно, интеграл
\[
\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{\beta}}dx
\]
сходится по признаку Дирихле. В результате, при $\alpha=1$ интеграл
сходится, если $\beta>0$.
Пусть теперь $\alpha$ — произвольное положительное число. Заменим $x^{\alpha}=y$, $x=y^{1/\alpha}$, и получим
\[
\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x^{\alpha}}{x^{\beta}}dx=\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin y}{y^{\beta/\alpha}}\frac{1}{\alpha}y^{\frac{1}{\alpha}-1}dy=\frac{1}{\alpha}\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin y}{y^{\frac{\beta}{\alpha}-\frac{1}{\alpha}+1}}dy,
\]
а тут мы уже можем воспользоваться результатами, полученными для простого синуса в интеграле. Согласно им, для сходимости показатель степени в знаменателе должен быть положительным:
\[
\frac{\beta}{\alpha}-\frac{1}{\alpha}+1>0,
\]
\[
\beta-1+\alpha>0,
\]
\[
\beta>1-\alpha.
\]
В итоге мы получаем такие условия для сходимости интеграла (\ref{int_vspom}): при $\alpha\leqslant0$ $\beta>1+\alpha$, а при $\alpha>0$ $\beta>1-\alpha$.
Перейдём теперь к основной задаче. Разделим область интегрирования в исходном интеграле (\ref{main}):
\begin{equation}
\intop_{0}^{\infty}\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}dx=\intop_{0}^{1}\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}dx+\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}dx.\label{razb}
\end{equation}
Второй интеграл полностью аналогичен исследованному (\ref{int_vspom}), и для него получаются аналогичные условия интегрируемости: при $q\leqslant0$ $p>1+q$, а при $q>0$ $p>1-q$.
В первом произведём замену $x=1/y$, $dx=-\frac{dy}{y^{2}}$:
\[
\intop_{0}^{1}\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}dx=-\intop_{\infty}^{1}\frac{\sin y^{-q}}{y^{-p}}\frac{dy}{y^{2}}=\intop_{1}^{\infty}\frac{\sin y^{-q}}{y^{2-p}}dy,
\]
после чего тот тоже становится интегралом типа (\ref{int_vspom}). Подставляя соответствующие степени вместо $\alpha$ и $\beta$ в условия интегрируемости, получим их в таком виде: при $-q\leqslant0$ $2-p\geqslant1-q$, а при $-q>0$ $2-p>1+q$, т.е. при $q\geqslant0$ $p<1+q$, а при $q<0$ $p<1-q$ .
Интеграл (\ref{main}) сходится тогда, когда сходятся оба его слагаемых в разбиении (\ref{razb}). Следовательно, его область сходимости есть пересечение областей сходимости слагаемых:
