Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

По неспешном рассмотрении заметим, что
\[
\mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{1}{\mathrm{tg}\,a}.
\]
Заменяя $a=arctg\,x$, получим
\[
\mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\,x\right)=\frac{1}{\mathrm{tg}\,\mathrm{arctg}\,x}=\frac{1}{x}.
\]
К обеим частям применим арктангенс:
\[
\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\,x=\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x},
\]
и получим
\[
\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}\,\frac{1}{x}=\mathrm{arctg}\,x.
\]
Таким образом, арктангенсы обратных величин пусть и не противоположны, но по крайней мере, интересующие нас функции отличаются на константу, что обеспечивает их нахождение в одном семействе первообразных.