Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется обычная производная, берущаяся в предположении, что все остальные переменные (кроме переменной дифференцирования) являются константами. Например, для функции $z\left(x,y\right)$ частная производная по $x$ \[ z_{x}^{\prime}=\frac{\partial z}{\partial x}\equiv\lim_{\varepsilon\to\infty}\frac{z\left(x+\varepsilon,y\right)-z\left(x,y\right)}{\varepsilon}, \] а её же производная по $y$ \[ z_{y}^{\prime}=\frac{\partial z}{\partial y}\equiv\lim_{\varepsilon\to\infty}\frac{z\left(x,y+\varepsilon\right)-z\left(x,y\right)}{\varepsilon}. \] Обычно в первом случае обозначают $\varepsilon=\Delta x$, а во втором – $\varepsilon=\Delta y$, но суть от этого не меняется.
Главное при вычислении частных производных - во время вспомнить, по чему именно мы дифференцируем. Например, №3220: при вычислении производной по $x$ константой считается $y$: \[ u_{x}^{\prime}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{y}\right)=yx^{y-1}, \] а при вычислении производной по $y$ константой считается $x$: \[ u_{y}^{\prime}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{y}\right)=\ln\left(x\right)x^{y}. \] Второй производной называется производная от первой производной. Но повторная производная не обязательно берётся по той же переменной, что и первичная. Тогда для функции от двух переменных $z\left(x,y\right)$ имеется две комбинации для первых производных, и четыре - для вторых: \[ z_{xx}^{\prime\prime},\quad z_{xy}^{\prime\prime},\quad z_{yx}^{\prime\prime},\quad z_{yy}^{\prime\prime}. \] Но самих вторых производных оказывается меньше, так как смешанные вторые производные не зависят от порядка дифференцирования: \[ z_{xy}^{\prime\prime}=z_{yx}^{\prime\prime}. \] Убедимся в этом на том же примере №3220, найдя все вторые производные в нём \[ u_{xx}^{\prime\prime}=\frac{\partial}{\partial x}\left(yx^{y-1}\right)=y\left(y-1\right)x^{y-2}, \] \[ u_{xy}^{\prime\prime}=\frac{\partial}{\partial y}\left(u_{x}^{\prime}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(yx^{y-1}\right)=x^{y-1}+y\ln\left(x\right)x^{y-1}=x^{y-1}\left[1+y\ln\left(x\right)\right], \] \[ u_{yx}^{\prime\prime}=\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{y}^{\prime}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln\left(x\right)x^{y}\right)=\frac{1}{x}x^{y}+\ln\left(x\right)yx^{y-1}=x^{y-1}\left(1+y\ln\left(x\right)\right)=u_{xy}^{\prime\prime}, \] \[ u_{y}^{\prime}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\ln\left(x\right)x^{y}\right)=\ln^{2}\left(x\right)x^{y}. \] Номера для самостоятельного решения: 3214, 3215, 3217, 3222, 3226. Сколько вторых производных будет у функции от трёх переменных?
Полные дифференциалы функций многих переменных, в отличие от частных производных, однозначны, и вычисляются по формуле \[ du\left(x_{1},x_{2},\dots x_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial u}{\partial x_{k}}dx_{k}=u_{x_{1}}^{\prime}dx_{1}+u_{x_{2}}^{\prime}dx_{2}+\dots+u_{x_{n}}^{\prime}dx_{n}. \] Например, \[ dz\left(x,y\right)=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy. \] В частности, в №3236 \[ u=\frac{x}{y},\qquad du=\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^{2}}dy. \] Второй дифференциал есть первый дифференциал от первого дифференциала, при этом приращения свободных переменных $dx$, $dy$ и т.д., считаются постоянными. Например, в №3236, рассматривать который мы взялись выше, \[ d^{2}u=d\left(du\right)=d\left(\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^{2}}dy\right)=\left(\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^{2}}dy\right)_{x}^{\prime}dx+\left(\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^{2}}dy\right)_{y}^{\prime}dy= \] \[ =\left(-\frac{1}{y^{2}}dy\right)dx+\left(-\frac{1}{y^{2}}dx+2\frac{x}{y^{3}}dy\right)dy=-\frac{2}{y^{2}}dxdy+2\frac{x}{y^{3}}\left(dy\right)^{2}. \] Граждане, будьте бдительны. Под обозначениями вроде $dx^{2}$ могут пониматься совершенно разные вещи: как $d\left(x^{2}\right)=2xdx$, так и $\left(dx\right)^{2}$. В Демидовиче, как правило, имеется в виду второе; самим же лучше ставить скобки. Во избежание.
Вообще, для дифференциалов второго порядка несложно вывести формулу, похожую на бином Ньютона (желающие могут сделать это сами, методом математической индукции): \[ d^{n}u\left(x,y\right)=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\frac{\partial^{n}u}{\partial^{n-k}x\partial^{k}y}\left(dx\right)^{n-k}\left(dy\right)^{k}. \] Далее, третий дифференциал есть первый дифференциал от второго дифференциала, и вообще, $d^{n}u=d\left(d^{n-1}u\right)$. Дифференциалы любого порядка линейны, а первого - удовлетворяет правилу Лейбница \[ d\left(uv\right)=vdu+udv \] и правилу дифференцирования сложных функций: \[ df\left(u\right)=f'\left(u\right)du. \] Пользуясь вышесказанным, например, №3269 можно решить так: \[ u=x^{3}+y^{3}-3xy\left(x-y\right)=x^{3}+y^{3}-3x^{2}y+3xy^{2} \] \[ u_{x}^{\prime}=3x^{2}-6xy+3y^{2},\quad u_{y}^{\prime}=3y^{2}-3x^{2}+6xy \] \[ u_{xx}^{\prime\prime}=6x-6y,\quad u_{xy}^{\prime\prime}=-6x+6y,\quad u_{yy}^{\prime\prime}=6y+6x \] \[ u_{xxx}^{\prime\prime\prime}=6,\quad u_{xxy}^{\prime\prime}=-6,\quad u_{xyy}^{\prime\prime}=6,\quad u_{yyy}^{\prime\prime}=6 \] \[ d^{3}u=\sum_{k=0}^{3}C_{n}^{k}\frac{\partial^{n}u}{\partial^{n-k}x\partial^{k}y}\left(dx\right)^{n-k}\left(dy\right)^{k}=u_{xxx}^{\prime\prime\prime}\left(dx\right)^{3}+3u_{xxy}^{\prime\prime}\left(dx\right)^{2}dy+3u_{xyy}^{\prime\prime}dx\left(dy\right)^{2}+u_{yyy}^{\prime\prime}\left(dy\right)^{3}= \] \[ =6\left(dx\right)^{3}-18\left(dx\right)^{2}dy+18dx\left(dy\right)^{2}+6\left(dy\right)^{3}. \] Номера для самостоятельного решения: 3235, 3237, 3239, 3240.
На дом: № 3257, 3258, 3271 - 3273.
