Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется обычная производная, берущаяся в предположении, что все остальные переменные (кроме переменной дифференцирования) являются константами. Например, для функции z(x,y) частная производная по x z′x=∂z∂x≡limε→∞z(x+ε,y)−z(x,y)ε, а её же производная по y z′y=∂z∂y≡limε→∞z(x,y+ε)−z(x,y)ε. Обычно в первом случае обозначают ε=Δx, а во втором – ε=Δy, но суть от этого не меняется.
Главное при вычислении частных производных - во время вспомнить, по чему именно мы дифференцируем. Например, №3220: при вычислении производной по x константой считается y: u′x=∂∂x(xy)=yxy−1, а при вычислении производной по y константой считается x: u′y=∂∂y(xy)=ln(x)xy. Второй производной называется производная от первой производной. Но повторная производная не обязательно берётся по той же переменной, что и первичная. Тогда для функции от двух переменных z(x,y) имеется две комбинации для первых производных, и четыре - для вторых: z′′xx,z′′xy,z′′yx,z′′yy. Но самих вторых производных оказывается меньше, так как смешанные вторые производные не зависят от порядка дифференцирования: z′′xy=z′′yx. Убедимся в этом на том же примере №3220, найдя все вторые производные в нём u′′xx=∂∂x(yxy−1)=y(y−1)xy−2, u′′xy=∂∂y(u′x)=∂∂y(yxy−1)=xy−1+yln(x)xy−1=xy−1[1+yln(x)], u′′yx=∂∂x(u′y)=∂∂x(ln(x)xy)=1xxy+ln(x)yxy−1=xy−1(1+yln(x))=u′′xy, u′y=∂∂y(ln(x)xy)=ln2(x)xy. Номера для самостоятельного решения: 3214, 3215, 3217, 3222, 3226. Сколько вторых производных будет у функции от трёх переменных?
Полные дифференциалы функций многих переменных, в отличие от частных производных, однозначны, и вычисляются по формуле du(x1,x2,…xn)=n∑k=1∂u∂xkdxk=u′x1dx1+u′x2dx2+⋯+u′xndxn. Например, dz(x,y)=∂z∂xdx+∂z∂ydy. В частности, в №3236 u=xy,du=1ydx−xy2dy. Второй дифференциал есть первый дифференциал от первого дифференциала, при этом приращения свободных переменных dx, dy и т.д., считаются постоянными. Например, в №3236, рассматривать который мы взялись выше, d2u=d(du)=d(1ydx−xy2dy)=(1ydx−xy2dy)′xdx+(1ydx−xy2dy)′ydy= =(−1y2dy)dx+(−1y2dx+2xy3dy)dy=−2y2dxdy+2xy3(dy)2. Граждане, будьте бдительны. Под обозначениями вроде dx2 могут пониматься совершенно разные вещи: как d(x2)=2xdx, так и (dx)2. В Демидовиче, как правило, имеется в виду второе; самим же лучше ставить скобки. Во избежание.
Вообще, для дифференциалов второго порядка несложно вывести формулу, похожую на бином Ньютона (желающие могут сделать это сами, методом математической индукции): dnu(x,y)=n∑k=0Ckn∂nu∂n−kx∂ky(dx)n−k(dy)k. Далее, третий дифференциал есть первый дифференциал от второго дифференциала, и вообще, dnu=d(dn−1u). Дифференциалы любого порядка линейны, а первого - удовлетворяет правилу Лейбница d(uv)=vdu+udv и правилу дифференцирования сложных функций: df(u)=f′(u)du. Пользуясь вышесказанным, например, №3269 можно решить так: u=x3+y3−3xy(x−y)=x3+y3−3x2y+3xy2 u′x=3x2−6xy+3y2,u′y=3y2−3x2+6xy u′′xx=6x−6y,u′′xy=−6x+6y,u′′yy=6y+6x u′′′xxx=6,u′′xxy=−6,u′′xyy=6,u′′yyy=6 d3u=3∑k=0Ckn∂nu∂n−kx∂ky(dx)n−k(dy)k=u′′′xxx(dx)3+3u′′xxy(dx)2dy+3u′′xyydx(dy)2+u′′yyy(dy)3= =6(dx)3−18(dx)2dy+18dx(dy)2+6(dy)3. Номера для самостоятельного решения: 3235, 3237, 3239, 3240.
На дом: № 3257, 3258, 3271 - 3273.