Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

03.04.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-912 в 8:30 и гр. 06-922 в 11:50, пн. 6.04.2020 (Демидович № 3236, 3269)

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется обычная производная, берущаяся в предположении, что все остальные переменные (кроме переменной дифференцирования) являются константами. Например, для функции z(x,y) частная производная по x zx=zxlimεz(x+ε,y)z(x,y)ε, а её же производная по y zy=zylimεz(x,y+ε)z(x,y)ε. Обычно в первом случае обозначают ε=Δx, а во втором – ε=Δy, но суть от этого не меняется.

Главное при вычислении частных производных - во время вспомнить, по чему именно мы дифференцируем. Например, №3220: при вычислении производной по x константой считается y: ux=x(xy)=yxy1, а при вычислении производной по y константой считается x: uy=y(xy)=ln(x)xy. Второй производной называется производная от первой производной. Но повторная производная не обязательно берётся по той же переменной, что и первичная. Тогда для функции от двух переменных z(x,y) имеется две комбинации для первых производных, и четыре - для вторых: zxx,zxy,zyx,zyy. Но самих вторых производных оказывается меньше, так как смешанные вторые производные не зависят от порядка дифференцирования: zxy=zyx. Убедимся в этом на том же примере №3220, найдя все вторые производные в нём uxx=x(yxy1)=y(y1)xy2, uxy=y(ux)=y(yxy1)=xy1+yln(x)xy1=xy1[1+yln(x)], uyx=x(uy)=x(ln(x)xy)=1xxy+ln(x)yxy1=xy1(1+yln(x))=uxy, uy=y(ln(x)xy)=ln2(x)xy. Номера для самостоятельного решения: 3214, 3215, 3217, 3222, 3226. Сколько вторых производных будет у функции от трёх переменных?

Полные дифференциалы функций многих переменных, в отличие от частных производных, однозначны, и вычисляются по формуле du(x1,x2,xn)=nk=1uxkdxk=ux1dx1+ux2dx2++uxndxn. Например, dz(x,y)=zxdx+zydy. В частности, в №3236 u=xy,du=1ydxxy2dy. Второй дифференциал есть первый дифференциал от первого дифференциала, при этом приращения свободных переменных dx, dy и т.д., считаются постоянными. Например, в №3236, рассматривать который мы взялись выше, d2u=d(du)=d(1ydxxy2dy)=(1ydxxy2dy)xdx+(1ydxxy2dy)ydy= =(1y2dy)dx+(1y2dx+2xy3dy)dy=2y2dxdy+2xy3(dy)2. Граждане, будьте бдительны. Под обозначениями вроде dx2 могут пониматься совершенно разные вещи: как d(x2)=2xdx, так и (dx)2. В Демидовиче, как правило, имеется в виду второе; самим же лучше ставить скобки. Во избежание.

Вообще, для дифференциалов второго порядка несложно вывести формулу, похожую на бином Ньютона (желающие могут сделать это сами, методом математической индукции): dnu(x,y)=nk=0Cknnunkxky(dx)nk(dy)k. Далее, третий дифференциал есть первый дифференциал от второго дифференциала, и вообще, dnu=d(dn1u). Дифференциалы любого порядка линейны, а первого - удовлетворяет правилу Лейбница d(uv)=vdu+udv и правилу дифференцирования сложных функций: df(u)=f(u)du. Пользуясь вышесказанным, например, №3269 можно решить так: u=x3+y33xy(xy)=x3+y33x2y+3xy2 ux=3x26xy+3y2,uy=3y23x2+6xy uxx=6x6y,uxy=6x+6y,uyy=6y+6x uxxx=6,uxxy=6,uxyy=6,uyyy=6 d3u=3k=0Cknnunkxky(dx)nk(dy)k=uxxx(dx)3+3uxxy(dx)2dy+3uxyydx(dy)2+uyyy(dy)3= =6(dx)318(dx)2dy+18dx(dy)2+6(dy)3. Номера для самостоятельного решения: 3235, 3237, 3239, 3240.

На дом: № 3257, 3258, 3271 - 3273.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников