Криволинейные координаты и их орты
Положение точки в трёхмерном пространстве задаётся тремя числами. Но каким именно образом - тут возможно множество вариантов, и декартовы координаты - только один из них. Уже (хотя бы в курсе мат.анализа) использовались цилиндрические и сферические координаты, а ими возможности отнюдь не исчерпываются. Линии, на которых постоянна некоторая пара координат, и меняется третья координата - для декартовых координат являются прямыми, но в более общем случае - не обязательно, поэтому в общем случае координаты называются криволинейными. Например, если в сферических координатах зафиксировать координаты r и φ, и менять θ -- мы получим вертикальную полуокружность.
Пусть положение точки в декартовых координатах определяется координатами (x,y,z), но есть и другая система координат, в которой положение точки определяется координатами (p,q,s), причём функции {x=x(p,q,s)y=y(p,q,s)z=z(p,q,s) дифференцируемы. Радиус-вектор точки →r=→ix+→jy+→kz можно проинтегрировать по каждой криволинейной координате, например, по p: →r′p=→ix′p+→jy′p+→kz′p, Коэффициентами Ламэ называются модули полученных таким образом векторов: Hp≡|→r′p|=√(x′p)2+(y′p)2+(z′p)2, Нормируем на единицу производне типа →r′p: →ep≡→r′pHp,|→ep|=1 Аналогично, Hq≡|→r′q|,Hs≡|→r′s| →eq≡→r′qHq,→es≡→r′sHs Векторы →ep,→eq,→es -- орты новой системы координат. У ортогональных систем они имеют такие свойства: (→ep⋅→ep)=1,(→eq⋅→eq)=1,(→es⋅→es)=1, (→ep⋅→eq)=0,(→ep⋅→es)=0,(→eq⋅→es)=0, [→ep×→eq]=→es,[→eq×→es]=→ep,[→es×→ep]=→eq. Например, для цилиндрических координат {x=rcosφy=rsinφz=h,→r=(rcosφrsinφh) →r′r=(cosφsinφ0),→r′φ=(−rsinφrcosφ0),→r′h=(001) Hr=√cos2φ+sin2φ=1 Hφ=√r2cos2φ+r2sin2φ=r Hh=√0+0+1=1 тогда →e′r=→r′rHr=(cosφsinφ0),→e′φ=→r′φHφ=(−sinφcosφ0),→e′h=→r′hHh=(001). Причём, →e′r⋅→e′φ=(cosφsinφ0)⋅(−sinφcosφ0)=−cosφsinφ+sinφcosφ=0,→e′r⋅→e′h=0,→e′h⋅→e′φ=0; →e′r×→e′φ=|→icosφ−sinφ→jsinφcosφ→k00|=→k|cosφ−sinφsinφcosφ|=→k(cos2φ−(−sin2φ))=→k=(001)=→e′h, →e′φ×→e′h=→e′φ×[→e′r×→e′φ]=→e′r(→e′φ⋅→e′φ)−→e′φ(→e′φ⋅→e′r)=→e′r⋅1−→e′φ⋅0=→e′r, →e′h×→e′r=→e′h×[→e′φ×→e′h]=→e′φ(→e′h⋅→e′h)−→e′h(→e′h⋅→e′φ)=→e′φ⋅1−→e′h⋅0=→e′φ. Задание: найти коэффициенты Ламэ и орты сферических координат и проверить, что система сферических координат ортогональна.
Далее наша задача будет состоять в перезаписи в криволинейных координатах известных дифференциальных операторов: градиента, дивергенции и ротора. Так как те выражаются через производные по декартовым координатам, задача эта будет сводиться к замене переменных в дифференциальных выражениях (x,y,z)⟶(p,q,s).
Градиент
Продифференцируем (1) по x, y и z: {1=x′pp′x+x′qq′x+x′ss′x0=y′pp′x+y′qq′x+y′ss′x0=z′pp′x+z′qq′x+z′ss′x{0=x′pp′y+x′qq′y+x′ss′y1=y′pp′y+y′qq′y+y′ss′y0=z′pp′y+z′qq′y+z′ss′y{0=x′pp′z+x′qq′z+x′ss′z0=y′pp′z+y′qq′z+y′ss′z1=z′pp′z+z′qq′z+z′ss′z По правилу Крамера, из первой системы p′x=|1x′qx′s0y′qy′s0z′qz′s||x′px′qx′sy′py′qy′sz′pz′qz′s|=(→i,→r′q,→r′s)(→r′p,→r′q,→r′s)=HqHs(→i,→eq,→es)HpHqHs(→ep,→eq,→es)=1Hp→i⋅[→eq×→es]→ep⋅[→eq×→es]=1Hp→i⋅→ep→ep⋅→ep=→i⋅→epHp. Аналогично, из второй системы в (9) получаем p′y=|0x′qx′s1y′qy′s0z′qz′s||x′px′qx′sy′py′qy′sz′pz′qz′s|=→j⋅→epHp,p′z=|0x′qx′s0y′qy′s1z′qz′s||x′px′qx′sy′py′qy′sz′pz′qz′s|=→k⋅→epHp. Так как для всякого вектора →a=→iax+→jay+→kaz=→i(→i⋅→a)+→j(→j⋅→a)+→k(→k⋅→a), gradp=→ip′x+→jp′y+→kp′z=→i→i⋅→epHp+→j→j⋅→epHp+→k→k⋅→epHp=→epHp. Решая системы (9) относительно производных других координат, тем же путём находим, что gradq=→eqHq,grads=→esHs.
Градиент произвольной функции u(p,q,s) находится отсюда мгновенно: gradu=u′pgradp+u′qgradq+u′sgrads=u′pHp→ep+u′qHq→eq+u′sHs→es Например, №189: Найти градиент в цилиндрических координатах поля (я тут дозаменил z на h) u=r2+2rcosφ−ehsinφ u′r=2r+2cosφ,u′φ=−2rsinφ−ehcosφ,u′h=−ehsinφ gradu=u′rHr→er+u′φHφ→eφ+u′hHh→eh=(2r+2cosφ)→er+−2rsinφ−ehcosφr→eφ−ehsinφ→eh. Задание: №190.
Вспомогательные формулы. Свойства производных →e.
1) Возьмём свойство ортогональности ортов (извините) и продифференцируем по координате: ∂∂γ|→eα⋅→eβ=δαβ при этом сработает правило Лейбница →eβ⋅∂∂γ→eα+→eα⋅∂∂γ→eβ=0 →eβ⋅∂∂γ→eα=−→eα⋅∂∂γ→eβ, где α, β и γ -- произвольные координаты из новой системы координат
2) В частности, когда α=β, →eβ⋅∂∂γ→eβ=−→eβ⋅∂∂γ→eβ, Заменим ещё γ=α, и получим →eβ⋅∂∂α→eβ=0, 3) Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому →rαβ″ подставим \vec{r}'{}_{\beta} и \vec{r}'{}_{\alpha}: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial\beta}\left(H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}\right)=\frac{\partial}{\partial\alpha}\left(H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}\right) \end{equation} Применим правило Лейбница и умножим обе части \begin{equation} \left.\frac{\partial}{\partial\beta}H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}+H_{\alpha}\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}+H_{\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\right|\cdot\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} В силу (\ref{eq:odnoe}) \begin{equation} H_{\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}, \end{equation} \begin{equation} \vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{1}{H_{\alpha}}\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta},\label{eq:dvae} \end{equation} где \alpha\neq\beta.
4)
Теперь умножим \begin{equation} \left.\frac{\partial}{\partial\beta}H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}+H_{\alpha}\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}+H_{\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\right|\cdot\vec{e}{}_{\gamma} \end{equation} (\gamma\neq\alpha, \gamma\neq\beta) \begin{equation} H_{\alpha}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=H_{\beta}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} \begin{equation} \vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{H_{\beta}}{H_{\alpha}}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} Эти четыре формулы пригодятся ниже.
Дивергенция
Для поля \vec{F}=\vec{i}P+\vec{j}Q+\vec{k}R дивергенция примет вид \mathrm{div}\,\vec{F}=P'_{x}+Q'_{y}+R'_{z}= =P'_{p}p'_{x}+P'_{q}q'_{x}+P'_{s}s'_{x}+Q'_{p}p'_{y}+Q'_{q}q'_{y}+Q'_{s}s'_{y}+R'_{p}p'_{z}+R'_{q}q'_{z}+R'_{s}s'_{z}= \begin{equation} =\left(P'_{p}p'_{x}+Q'_{p}p'_{y}+R'_{p}p'_{z}\right)+\left(P'_{q}q'_{x}+Q'_{q}q'_{y}+R'_{q}q'_{z}\right)+\left(P'_{s}s'_{x}+Q'_{s}s'_{y}+R'_{s}s'_{z}\right)= \end{equation} =\vec{F}'_{p}\cdot\mathrm{grad}\,p+\vec{F}'_{q}\cdot\mathrm{grad}\,q+\vec{F}'_{s}\cdot\mathrm{grad}\,s=\dfrac{\vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\dfrac{\vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}{}_{q}}{H_{q}}+\dfrac{\vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}{}_{s}}{H_{s}}
В локальном криволинейном базисе \vec{F}=F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s} \vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}_{p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s}\right)\cdot\vec{e}_{p}= \begin{equation} =\left(\frac{\partial}{\partial p}F_{p}\vec{e}{}_{p}+\frac{\partial}{\partial p}F_{q}\vec{e}{}_{q}+\frac{\partial}{\partial p}F_{s}\vec{e}{}_{s}+F_{p}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{s}\right)\cdot\vec{e}_{p}= \end{equation} по (\ref{eq:dvae}) =\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}\vec{e}_{p}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}_{p}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{s}=\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}\frac{1}{H_{q}}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}\frac{1}{H_{s}}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}= =\frac{1}{H_{q}H_{s}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}\right). Так же получим, что \begin{equation} \vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}_{q}=\frac{1}{H_{p}H_{s}}\left(H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right), \end{equation} \begin{equation} \vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}_{s}=\frac{1}{H_{p}H_{q}}\left(H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}\right). \end{equation} Тогда \mathrm{div}\,\vec{F}=\dfrac{\vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\dfrac{\vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}{}_{q}}{H_{q}}+\dfrac{\vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}{}_{s}}{H_{s}}= =\frac{1}{H_{q}H_{s}H_{p}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}\right)+ \frac{1}{H_{p}H_{s}H_{q}}\left(H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right)+ \frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left(H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}\right)= \begin{equation} =\frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+\right. \end{equation} +H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}+ \left.H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right)= =\frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left[\frac{\partial}{\partial p}\left(H_{q}H_{s}F_{p}\right)+\frac{\partial}{\partial q}\left(H_{p}H_{s}F_{q}\right)+\frac{\partial}{\partial s}\left(H_{p}H_{q}F_{s}\right)\right] Например, в цилиндрических координатах №191 (я опять заменил z на h во избежание путаницы): \vec{F}=\varphi\mathrm{arctg}\,r\vec{e}_{r}+2\vec{e}_{\varphi}-h^{2}e^{h}\vec{e}_{h} \mathrm{div}\,\vec{F}=\frac{1}{H_{r}H_{\varphi}H_{h}}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(H_{\varphi}H_{h}F_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(H_{r}H_{h}F_{\varphi}\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(H_{r}H_{\varphi}F_{h}\right)\right]= =\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(rF_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(F_{\varphi}\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(rF_{h}\right)\right]= =\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r\varphi\mathrm{arctg}\,r\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(2\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(-h^{2}e^{h}r\right)\right]= =\frac{1}{r}\left[\varphi\left(\mathrm{arctg}\,r+r\frac{1}{1+r^{2}}\right)-r\left(2he^{h}+h^{2}e^{h}\right)\right]= =\frac{\varphi}{r}\mathrm{arctg}\,r+\frac{\varphi}{1+r^{2}}-\left(2+h\right)he^{h}. Задание: №192.