Криволинейные координаты и их орты
Положение точки в трёхмерном пространстве задаётся тремя числами. Но каким именно образом - тут возможно множество вариантов, и декартовы координаты - только один из них. Уже (хотя бы в курсе мат.анализа) использовались цилиндрические и сферические координаты, а ими возможности отнюдь не исчерпываются. Линии, на которых постоянна некоторая пара координат, и меняется третья координата - для декартовых координат являются прямыми, но в более общем случае - не обязательно, поэтому в общем случае координаты называются криволинейными. Например, если в сферических координатах зафиксировать координаты $r$ и $\varphi$, и менять $\theta$ -- мы получим вертикальную полуокружность.
Пусть положение точки в декартовых координатах определяется координатами $\left(x,y,z\right)$, но есть и другая система координат, в которой положение точки определяется координатами $\left(p,q,s\right)$, причём функции \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x=x\left(p,q,s\right)\\ y=y\left(p,q,s\right)\\ z=z\left(p,q,s\right) \end{array}\right.\label{eq:fun_preobr} \end{equation} дифференцируемы. Радиус-вектор точки $\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z$ можно проинтегрировать по каждой криволинейной координате, например, по $p$: \begin{equation} \vec{r}'_{p}=\vec{i}x'_{p}+\vec{j}y'_{p}+\vec{k}z'_{p}, \end{equation} Коэффициентами Ламэ называются модули полученных таким образом векторов: \begin{equation} H_{p}\equiv\left|\vec{r}'_{p}\right|=\sqrt{ \left(x'_{p}\right)^{2}+\left(y'_{p}\right)^{2}+\left(z'_{p}\right)^{2}}, \end{equation} Нормируем на единицу производне типа $\vec{r}'_{p}$: \begin{equation} \vec{e}_{p}\equiv\frac{\vec{r}'_{p}}{H_{p}},\qquad\left|\vec{e}_{p}\right|=1 \end{equation} Аналогично, \begin{equation} H_{q}\equiv\left|\vec{r}'_{q}\right|,\quad H_{s}\equiv\left|\vec{r}'_{s}\right| \end{equation} \[ \vec{e}_{q}\equiv\frac{\vec{r}'_{q}}{H_{q}},\quad\vec{e}_{s}\equiv\frac{\vec{r}'_{s}}{H_{s}} \] Векторы $\vec{e}{}_{p},\vec{e}{}_{q},\vec{e}{}_{s}$ -- орты новой системы координат. У ортогональных систем они имеют такие свойства: \begin{equation} \left(\vec{e}{}_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}\right)=1,\quad\left(\vec{e}{}_{q}\cdot\vec{e}{}_{q}\right)=1,\quad\left(\vec{e}{}_{s}\cdot\vec{e}{}_{s}\right)=1, \end{equation} \begin{equation} \left(\vec{e}{}_{p}\cdot\vec{e}{}_{q}\right)=0,\quad\left(\vec{e}{}_{p}\cdot\vec{e}{}_{s}\right)=0,\quad\left(\vec{e}{}_{q}\cdot\vec{e}{}_{s}\right)=0, \end{equation} \begin{equation} \left[\vec{e}{}_{p}\times\vec{e}{}_{q}\right]=\vec{e}{}_{s},\quad\left[\vec{e}{}_{q}\times\vec{e}{}_{s}\right]=\vec{e}{}_{p},\quad\left[\vec{e}{}_{s}\times\vec{e}{}_{p}\right]=\vec{e}{}_{q}. \end{equation} Например, для цилиндрических координат \[ \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\varphi\\ y=r\sin\varphi\\ z=h \end{array}\right.,\qquad\vec{r}=\left(\begin{array}{c} r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\\ h \end{array}\right) \] \[ \vec{r}'_{r}=\left(\begin{array}{c} \cos\varphi\\ \sin\varphi\\ 0 \end{array}\right),\qquad\vec{r}'_{\varphi}=\left(\begin{array}{c} -r\sin\varphi\\ r\cos\varphi\\ 0 \end{array}\right),\qquad\vec{r}'_{h}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \] \[ H_{r}=\sqrt{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}=1 \] \[ H_{\varphi}=\sqrt{r^{2}\cos^{2}\varphi+r^{2}\sin^{2}\varphi}=r \] \[ H_{h}=\sqrt{0+0+1}=1 \] тогда \[ \vec{e}'_{r}=\frac{\vec{r}'_{r}}{H_{r}}=\left(\begin{array}{c} \cos\varphi\\ \sin\varphi\\ 0 \end{array}\right),\qquad\vec{e}'_{\varphi}=\frac{\vec{r}'_{\varphi}}{H_{\varphi}}=\left(\begin{array}{c} -\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0 \end{array}\right),\qquad\vec{e}'_{h}=\frac{\vec{r}'_{h}}{H_{h}}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right). \] Причём, \[ \vec{e}'_{r}\cdot\vec{e}'_{\varphi}=\left(\begin{array}{c} \cos\varphi\\ \sin\varphi\\ 0 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} -\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0 \end{array}\right)=-\cos\varphi\sin\varphi+\sin\varphi\cos\varphi=0,\quad\vec{e}'_{r}\cdot\vec{e}'_{h}=0,\quad\vec{e}'_{h}\cdot\vec{e}'_{\varphi}=0; \] \[ \vec{e}'_{r}\times\vec{e}'_{\varphi}=\left|\begin{array}{ccr} \vec{i} & \cos\varphi & -\sin\varphi\\ \vec{j} & \sin\varphi & \cos\varphi\\ \vec{k} & 0 & 0 \end{array}\right|=\vec{k}\left|\begin{array}{cc} \cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{array}\right|=\vec{k}\left(\cos^{2}\varphi-\left(-\sin^{2}\varphi\right)\right)=\vec{k}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)=\vec{e}'_{h}, \] \[ \vec{e}'_{\varphi}\times\vec{e}'_{h}=\vec{e}'_{\varphi}\times\left[\vec{e}'_{r}\times\vec{e}'_{\varphi}\right]=\vec{e}'_{r}\left(\vec{e}'_{\varphi}\cdot\vec{e}'_{\varphi}\right)-\vec{e}'_{\varphi}\left(\vec{e}'_{\varphi}\cdot\vec{e}'_{r}\right)=\vec{e}'_{r}\cdot1-\vec{e}'_{\varphi}\cdot0=\vec{e}'_{r}, \] \[ \vec{e}'_{h}\times\vec{e}'_{r}=\vec{e}'_{h}\times\left[\vec{e}'_{\varphi}\times\vec{e}'_{h}\right]=\vec{e}'_{\varphi}\left(\vec{e}'_{h}\cdot\vec{e}'_{h}\right)-\vec{e}'_{h}\left(\vec{e}'_{h}\cdot\vec{e}'_{\varphi}\right)=\vec{e}'_{\varphi}\cdot1-\vec{e}'_{h}\cdot0=\vec{e}'_{\varphi}. \] Задание: найти коэффициенты Ламэ и орты сферических координат и проверить, что система сферических координат ортогональна.
Далее наша задача будет состоять в перезаписи в криволинейных координатах известных дифференциальных операторов: градиента, дивергенции и ротора. Так как те выражаются через производные по декартовым координатам, задача эта будет сводиться к замене переменных в дифференциальных выражениях $\left(x,y,z\right)\longrightarrow\left(p,q,s\right)$.
Градиент
Продифференцируем (\ref{eq:fun_preobr}) по $x$, $y$ и $z$: \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} 1=x'_{p}p'_{x}+x'_{q}q'_{x}+x'_{s}s'_{x}\\ 0=y'_{p}p'_{x}+y'_{q}q'_{x}+y'_{s}s'_{x}\\ 0=z'_{p}p'_{x}+z'_{q}q'_{x}+z'_{s}s'_{x} \end{array}\right.\qquad\left\{ \begin{array}{l} 0=x'_{p}p'_{y}+x'_{q}q'_{y}+x'_{s}s'_{y}\\ 1=y'_{p}p'_{y}+y'_{q}q'_{y}+y'_{s}s'_{y}\\ 0=z_{'p}p'_{y}+z'_{q}q'_{y}+z'_{s}s'_{y} \end{array}\right.\qquad\left\{ \begin{array}{l} 0=x'_{p}p'_{z}+x'_{q}q'_{z}+x'_{s}s'_{z}\\ 0=y'_{p}p'_{z}+y'_{q}q'_{z}+y'_{s}s'_{z}\\ 1=z'_{p}p'_{z}+z'_{q}q'_{z}+z'_{s}s'_{z} \end{array}\right.\label{eq:preobr_pr} \end{equation} По правилу Крамера, из первой системы \begin{equation} p'_{x}=\dfrac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & x'_{q} & x'_{s}\\ 0 & y'_{q} & y'_{s}\\ 0 & z'_{q} & z'_{s} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} x'_{p} & x'_{q} & x'_{s}\\ y'_{p} & y'_{q} & y'_{s}\\ z'_{p} & z'_{q} & z'_{s} \end{array}\right|}=\dfrac{\left(\vec{i},\vec{r}'_{q},\vec{r}'_{s}\right)}{\left(\vec{r}'_{p},\vec{r}'_{q},\vec{r}'_{s}\right)}=\dfrac{H_{q}H_{s}\left(\vec{i},\vec{e}{}_{q},\vec{e}{}_{s}\right)}{H_{p}H_{q}H_{s}\left(\vec{e}{}_{p},\vec{e}{}_{q},\vec{e}{}_{s}\right)}=\frac{1}{H_{p}}\dfrac{\vec{i}\cdot\left[\vec{e}{}_{q}\times\vec{e}{}_{s}\right]}{\vec{e}{}_{p}\cdot\left[\vec{e}{}_{q}\times\vec{e}{}_{s}\right]}=\frac{1}{H_{p}}\dfrac{\vec{i}\cdot\vec{e}{}_{p}}{\vec{e}{}_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}}=\dfrac{\vec{i}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}. \end{equation} Аналогично, из второй системы в (\ref{eq:preobr_pr}) получаем \begin{equation} p'_{y}=\dfrac{\left|\begin{array}{ccc} 0 & x'_{q} & x'_{s}\\ 1 & y'_{q} & y'_{s}\\ 0 & z'_{q} & z'_{s} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} x'_{p} & x'_{q} & x'_{s}\\ y'_{p} & y'_{q} & y'_{s}\\ z'_{p} & z'_{q} & z'_{s} \end{array}\right|}=\dfrac{\vec{j}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}},\qquad p'_{z}=\dfrac{\left|\begin{array}{ccc} 0 & x'_{q} & x'_{s}\\ 0 & y'_{q} & y'_{s}\\ 1 & z'_{q} & z'_{s} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} x'_{p} & x'_{q} & x'_{s}\\ y'_{p} & y'_{q} & y'_{s}\\ z'_{p} & z'_{q} & z'_{s} \end{array}\right|}=\dfrac{\vec{k}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}. \end{equation} Так как для всякого вектора $\vec{a}=\vec{i}a_{x}+\vec{j}a_{y}+\vec{k}a_{z}=\vec{i}\left(\vec{i}\cdot\vec{a}\right)+\vec{j}\left(\vec{j}\cdot\vec{a}\right)+\vec{k}\left(\vec{k}\cdot\vec{a}\right)$, \begin{equation} \mathrm{grad}\,p=\vec{i}p'_{x}+\vec{j}p'_{y}+\vec{k}p'_{z}=\vec{i}\dfrac{\vec{i}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\vec{j}\dfrac{\vec{j}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\vec{k}\dfrac{\vec{k}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}=\dfrac{\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}. \end{equation} Решая системы (\ref{eq:preobr_pr}) относительно производных других координат, тем же путём находим, что \begin{equation} \mathrm{grad}\,q=\dfrac{\vec{e}{}_{q}}{H_{q}},\quad\mathrm{grad}\,s=\dfrac{\vec{e}{}_{s}}{H_{s}}. \end{equation}
Градиент произвольной функции $u\left(p,q,s\right)$ находится отсюда мгновенно: \begin{equation} \mathrm{grad}\,u=u'_{p}\mathrm{grad}\,p+u'_{q}\mathrm{grad}\,q+u'_{s}\mathrm{grad}\,s=\frac{u'_{p}}{H_{p}}\vec{e}_{p}+\frac{u'_{q}}{H_{q}}\vec{e}_{q}+\frac{u'_{s}}{H_{s}}\vec{e}_{s} \end{equation} Например, №189: Найти градиент в цилиндрических координатах поля (я тут дозаменил $z$ на $h$) \[ u=r^{2}+2r\cos\varphi-e^{h}\sin\varphi \] \[ u'_{r}=2r+2\cos\varphi,\quad u'_{\varphi}=-2r\sin\varphi-e^{h}\cos\varphi,\quad u'_{h}=-e^{h}\sin\varphi \] \begin{equation} \mathrm{grad}\,u=\frac{u'_{r}}{H_{r}}\vec{e}_{r}+\frac{u'_{\varphi}}{H_{\varphi}}\vec{e}_{\varphi}+\frac{u'_{h}}{H_{h}}\vec{e}_{h}=\left(2r+2\cos\varphi\right)\vec{e}_{r}+\frac{-2r\sin\varphi-e^{h}\cos\varphi}{r}\vec{e}_{\varphi}-e^{h}\sin\varphi\vec{e}_{h}. \end{equation} Задание: №190.
Вспомогательные формулы. Свойства производных $\vec{e}$.
1) Возьмём свойство ортогональности ортов (извините) и продифференцируем по координате: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial\gamma}\left|\vec{e}{}_{\alpha}\cdot\vec{e}{}_{\beta}=\delta_{\alpha\beta}\right. \end{equation} при этом сработает правило Лейбница \begin{equation} \vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\gamma}\vec{e}{}_{\alpha}+\vec{e}{}_{\alpha}\cdot\frac{\partial}{\partial\gamma}\vec{e}{}_{\beta}=0 \end{equation} \begin{equation} \vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\gamma}\vec{e}{}_{\alpha}=-\vec{e}{}_{\alpha}\cdot\frac{\partial}{\partial\gamma}\vec{e}{}_{\beta}, \end{equation} где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ -- произвольные координаты из новой системы координат
2) В частности, когда $\alpha=\beta$, \begin{equation} \vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\gamma}\vec{e}{}_{\beta}=-\vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\gamma}\vec{e}{}_{\beta}, \end{equation} Заменим ещё $\gamma=\alpha$, и получим \begin{equation} \vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta}=0,\label{eq:odnoe} \end{equation} 3) Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому \begin{equation} \vec{r}''_{\alpha\beta}=\vec{r}''_{\beta\alpha}, \end{equation} подставим $\vec{r}'{}_{\beta}$ и $\vec{r}'{}_{\alpha}$: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial\beta}\left(H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}\right)=\frac{\partial}{\partial\alpha}\left(H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}\right) \end{equation} Применим правило Лейбница и умножим обе части \begin{equation} \left.\frac{\partial}{\partial\beta}H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}+H_{\alpha}\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}+H_{\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\right|\cdot\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} В силу (\ref{eq:odnoe}) \begin{equation} H_{\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}, \end{equation} \begin{equation} \vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{1}{H_{\alpha}}\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta},\label{eq:dvae} \end{equation} где $\alpha\neq\beta$.
4)
Теперь умножим \begin{equation} \left.\frac{\partial}{\partial\beta}H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}+H_{\alpha}\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}+H_{\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\right|\cdot\vec{e}{}_{\gamma} \end{equation} ($\gamma\neq\alpha$, $\gamma\neq\beta$) \begin{equation} H_{\alpha}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=H_{\beta}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} \begin{equation} \vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{H_{\beta}}{H_{\alpha}}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} Эти четыре формулы пригодятся ниже.
Дивергенция
Для поля $\vec{F}=\vec{i}P+\vec{j}Q+\vec{k}R$ дивергенция примет вид \[ \mathrm{div}\,\vec{F}=P'_{x}+Q'_{y}+R'_{z}= \] \[ =P'_{p}p'_{x}+P'_{q}q'_{x}+P'_{s}s'_{x}+Q'_{p}p'_{y}+Q'_{q}q'_{y}+Q'_{s}s'_{y}+R'_{p}p'_{z}+R'_{q}q'_{z}+R'_{s}s'_{z}= \] \begin{equation} =\left(P'_{p}p'_{x}+Q'_{p}p'_{y}+R'_{p}p'_{z}\right)+\left(P'_{q}q'_{x}+Q'_{q}q'_{y}+R'_{q}q'_{z}\right)+\left(P'_{s}s'_{x}+Q'_{s}s'_{y}+R'_{s}s'_{z}\right)= \end{equation} \[ =\vec{F}'_{p}\cdot\mathrm{grad}\,p+\vec{F}'_{q}\cdot\mathrm{grad}\,q+\vec{F}'_{s}\cdot\mathrm{grad}\,s=\dfrac{\vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\dfrac{\vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}{}_{q}}{H_{q}}+\dfrac{\vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}{}_{s}}{H_{s}} \]
В локальном криволинейном базисе $\vec{F}=F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s}$ \[ \vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}_{p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s}\right)\cdot\vec{e}_{p}= \] \begin{equation} =\left(\frac{\partial}{\partial p}F_{p}\vec{e}{}_{p}+\frac{\partial}{\partial p}F_{q}\vec{e}{}_{q}+\frac{\partial}{\partial p}F_{s}\vec{e}{}_{s}+F_{p}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{s}\right)\cdot\vec{e}_{p}= \end{equation} по (\ref{eq:dvae}) \[ =\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}\vec{e}_{p}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}_{p}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{s}=\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}\frac{1}{H_{q}}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}\frac{1}{H_{s}}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}= \] \[ =\frac{1}{H_{q}H_{s}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}\right). \] Так же получим, что \begin{equation} \vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}_{q}=\frac{1}{H_{p}H_{s}}\left(H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right), \end{equation} \begin{equation} \vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}_{s}=\frac{1}{H_{p}H_{q}}\left(H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}\right). \end{equation} Тогда \[ \mathrm{div}\,\vec{F}=\dfrac{\vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\dfrac{\vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}{}_{q}}{H_{q}}+\dfrac{\vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}{}_{s}}{H_{s}}= \] \[ =\frac{1}{H_{q}H_{s}H_{p}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}\right)+ \] \[ \frac{1}{H_{p}H_{s}H_{q}}\left(H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right)+ \] \[ \frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left(H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}\right)= \] \begin{equation} =\frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+\right. \end{equation} \[ +H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}+ \] \[ \left.H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right)= \] \[ =\frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left[\frac{\partial}{\partial p}\left(H_{q}H_{s}F_{p}\right)+\frac{\partial}{\partial q}\left(H_{p}H_{s}F_{q}\right)+\frac{\partial}{\partial s}\left(H_{p}H_{q}F_{s}\right)\right] \] Например, в цилиндрических координатах №191 (я опять заменил $z$ на $h$ во избежание путаницы): \[ \vec{F}=\varphi\mathrm{arctg}\,r\vec{e}_{r}+2\vec{e}_{\varphi}-h^{2}e^{h}\vec{e}_{h} \] \[ \mathrm{div}\,\vec{F}=\frac{1}{H_{r}H_{\varphi}H_{h}}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(H_{\varphi}H_{h}F_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(H_{r}H_{h}F_{\varphi}\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(H_{r}H_{\varphi}F_{h}\right)\right]= \] \[ =\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(rF_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(F_{\varphi}\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(rF_{h}\right)\right]= \] \[ =\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r\varphi\mathrm{arctg}\,r\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(2\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(-h^{2}e^{h}r\right)\right]= \] \[ =\frac{1}{r}\left[\varphi\left(\mathrm{arctg}\,r+r\frac{1}{1+r^{2}}\right)-r\left(2he^{h}+h^{2}e^{h}\right)\right]= \] \[ =\frac{\varphi}{r}\mathrm{arctg}\,r+\frac{\varphi}{1+r^{2}}-\left(2+h\right)he^{h}. \] Задание: №192.
