Криволинейные координаты и их орты
Положение точки в трёхмерном пространстве задаётся тремя числами. Но каким именно образом - тут возможно множество вариантов, и декартовы координаты - только один из них. Уже (хотя бы в курсе мат.анализа) использовались цилиндрические и сферические координаты, а ими возможности отнюдь не исчерпываются. Линии, на которых постоянна некоторая пара координат, и меняется третья координата - для декартовых координат являются прямыми, но в более общем случае - не обязательно, поэтому в общем случае координаты называются криволинейными. Например, если в сферических координатах зафиксировать координаты r и φ, и менять θ -- мы получим вертикальную полуокружность.
Пусть положение точки в декартовых координатах определяется координатами (x,y,z), но есть и другая система координат, в которой положение точки определяется координатами (p,q,s), причём функции {x=x(p,q,s)y=y(p,q,s)z=z(p,q,s) дифференцируемы. Радиус-вектор точки →r=→ix+→jy+→kz можно проинтегрировать по каждой криволинейной координате, например, по p: →r′p=→ix′p+→jy′p+→kz′p, Коэффициентами Ламэ называются модули полученных таким образом векторов: Hp≡|→r′p|=√(x′p)2+(y′p)2+(z′p)2, Нормируем на единицу производне типа →r′p: →ep≡→r′pHp,|→ep|=1 Аналогично, Hq≡|→r′q|,Hs≡|→r′s| →eq≡→r′qHq,→es≡→r′sHs Векторы →ep,→eq,→es -- орты новой системы координат. У ортогональных систем они имеют такие свойства: (→ep⋅→ep)=1,(→eq⋅→eq)=1,(→es⋅→es)=1, (→ep⋅→eq)=0,(→ep⋅→es)=0,(→eq⋅→es)=0, [→ep×→eq]=→es,[→eq×→es]=→ep,[→es×→ep]=→eq. Например, для цилиндрических координат {x=rcosφy=rsinφz=h,→r=(rcosφrsinφh) →r′r=(cosφsinφ0),→r′φ=(−rsinφrcosφ0),→r′h=(001) Hr=√cos2φ+sin2φ=1 Hφ=√r2cos2φ+r2sin2φ=r Hh=√0+0+1=1 тогда →e′r=→r′rHr=(cosφsinφ0),→e′φ=→r′φHφ=(−sinφcosφ0),→e′h=→r′hHh=(001). Причём, →e′r⋅→e′φ=(cosφsinφ0)⋅(−sinφcosφ0)=−cosφsinφ+sinφcosφ=0,→e′r⋅→e′h=0,→e′h⋅→e′φ=0; →e′r×→e′φ=|→icosφ−sinφ→jsinφcosφ→k00|=→k|cosφ−sinφsinφcosφ|=→k(cos2φ−(−sin2φ))=→k=(001)=→e′h, →e′φ×→e′h=→e′φ×[→e′r×→e′φ]=→e′r(→e′φ⋅→e′φ)−→e′φ(→e′φ⋅→e′r)=→e′r⋅1−→e′φ⋅0=→e′r, →e′h×→e′r=→e′h×[→e′φ×→e′h]=→e′φ(→e′h⋅→e′h)−→e′h(→e′h⋅→e′φ)=→e′φ⋅1−→e′h⋅0=→e′φ. Задание: найти коэффициенты Ламэ и орты сферических координат и проверить, что система сферических координат ортогональна.
Далее наша задача будет состоять в перезаписи в криволинейных координатах известных дифференциальных операторов: градиента, дивергенции и ротора. Так как те выражаются через производные по декартовым координатам, задача эта будет сводиться к замене переменных в дифференциальных выражениях (x,y,z)⟶(p,q,s).
Градиент
Продифференцируем (1) по x, y и z: {1=x′pp′x+x′qq′x+x′ss′x0=y′pp′x+y′qq′x+y′ss′x0=z′pp′x+z′qq′x+z′ss′x{0=x′pp′y+x′qq′y+x′ss′y1=y′pp′y+y′qq′y+y′ss′y0=z′pp′y+z′qq′y+z′ss′y{0=x′pp′z+x′qq′z+x′ss′z0=y′pp′z+y′qq′z+y′ss′z1=z′pp′z+z′qq′z+z′ss′z По правилу Крамера, из первой системы p′x=|1x′qx′s0y′qy′s0z′qz′s||x′px′qx′sy′py′qy′sz′pz′qz′s|=(→i,→r′q,→r′s)(→r′p,→r′q,→r′s)=HqHs(→i,→eq,→es)HpHqHs(→ep,→eq,→es)=1Hp→i⋅[→eq×→es]→ep⋅[→eq×→es]=1Hp→i⋅→ep→ep⋅→ep=→i⋅→epHp. Аналогично, из второй системы в (9) получаем p′y=|0x′qx′s1y′qy′s0z′qz′s||x′px′qx′sy′py′qy′sz′pz′qz′s|=→j⋅→epHp,p′z=|0x′qx′s0y′qy′s1z′qz′s||x′px′qx′sy′py′qy′sz′pz′qz′s|=→k⋅→epHp. Так как для всякого вектора →a=→iax+→jay+→kaz=→i(→i⋅→a)+→j(→j⋅→a)+→k(→k⋅→a), gradp=→ip′x+→jp′y+→kp′z=→i→i⋅→epHp+→j→j⋅→epHp+→k→k⋅→epHp=→epHp. Решая системы (9) относительно производных других координат, тем же путём находим, что gradq=→eqHq,grads=→esHs.
Градиент произвольной функции u(p,q,s) находится отсюда мгновенно: gradu=u′pgradp+u′qgradq+u′sgrads=u′pHp→ep+u′qHq→eq+u′sHs→es Например, №189: Найти градиент в цилиндрических координатах поля (я тут дозаменил z на h) u=r2+2rcosφ−ehsinφ u′r=2r+2cosφ,u′φ=−2rsinφ−ehcosφ,u′h=−ehsinφ gradu=u′rHr→er+u′φHφ→eφ+u′hHh→eh=(2r+2cosφ)→er+−2rsinφ−ehcosφr→eφ−ehsinφ→eh. Задание: №190.
Вспомогательные формулы. Свойства производных →e.
1) Возьмём свойство ортогональности ортов (извините) и продифференцируем по координате: ∂∂γ|→eα⋅→eβ=δαβ при этом сработает правило Лейбница →eβ⋅∂∂γ→eα+→eα⋅∂∂γ→eβ=0 →eβ⋅∂∂γ→eα=−→eα⋅∂∂γ→eβ, где α, β и γ -- произвольные координаты из новой системы координат
2) В частности, когда α=β, →eβ⋅∂∂γ→eβ=−→eβ⋅∂∂γ→eβ, Заменим ещё γ=α, и получим →eβ⋅∂∂α→eβ=0, 3) Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому →r″αβ=→r″βα, подставим →r′β и →r′α: ∂∂β(Hα→eα)=∂∂α(Hβ→eβ) Применим правило Лейбница и умножим обе части ∂∂βHα→eα+Hα∂∂β→eα=∂∂αHβ→eβ+Hβ∂∂α→eβ|⋅→eβ В силу (20) Hα→eβ⋅∂∂β→eα=∂∂αHβ, →eβ⋅∂∂β→eα=1Hα∂∂αHβ, где α≠β.
4)
Теперь умножим ∂∂βHα→eα+Hα∂∂β→eα=∂∂αHβ→eβ+Hβ∂∂α→eβ|⋅→eγ (γ≠α, γ≠β) Hα→eγ⋅∂∂β→eα=Hβ→eγ⋅∂∂α→eβ →eγ⋅∂∂β→eα=HβHα→eγ⋅∂∂α→eβ Эти четыре формулы пригодятся ниже.
Дивергенция
Для поля →F=→iP+→jQ+→kR дивергенция примет вид div→F=P′x+Q′y+R′z= =P′pp′x+P′qq′x+P′ss′x+Q′pp′y+Q′qq′y+Q′ss′y+R′pp′z+R′qq′z+R′ss′z= =(P′pp′x+Q′pp′y+R′pp′z)+(P′qq′x+Q′qq′y+R′qq′z)+(P′ss′x+Q′ss′y+R′ss′z)= =→F′p⋅gradp+→F′q⋅gradq+→F′s⋅grads=→F′p⋅→epHp+→F′q⋅→eqHq+→F′s⋅→esHs
В локальном криволинейном базисе →F=Fp→ep+Fq→eq+Fs→es →F′p⋅→ep=∂∂p(Fp→ep+Fq→eq+Fs→es)⋅→ep= =(∂∂pFp→ep+∂∂pFq→eq+∂∂pFs→es+Fp∂∂p→ep+Fq∂∂p→eq+Fs∂∂p→es)⋅→ep= по (25) =∂∂pFp+Fq→ep⋅∂∂p→eq+Fs→ep⋅∂∂p→es=∂∂pFp+Fq1Hq∂∂qHp+Fs1Hs∂∂sHp= =1HqHs(HqHs∂∂pFp+FqHs∂∂qHp+FsHq∂∂sHp). Так же получим, что →F′q⋅→eq=1HpHs(HpHs∂∂qFq+FpHs∂∂pHq+FsHp∂∂sHq), →F′s⋅→es=1HpHq(HpHq∂∂sFs+FpHq∂∂pHs+FqHp∂∂qHs). Тогда div→F=→F′p⋅→epHp+→F′q⋅→eqHq+→F′s⋅→esHs= =1HqHsHp(HqHs∂∂pFp+FqHs∂∂qHp+FsHq∂∂sHp)+ 1HpHsHq(HpHs∂∂qFq+FpHs∂∂pHq+FsHp∂∂sHq)+ 1HpHqHs(HpHq∂∂sFs+FpHq∂∂pHs+FqHp∂∂qHs)= =1HpHqHs(HqHs∂∂pFp+FpHs∂∂pHq+FpHq∂∂pHs+ +HpHs∂∂qFq+FqHs∂∂qHp+FqHp∂∂qHs+ HpHq∂∂sFs+FsHq∂∂sHp+FsHp∂∂sHq)= =1HpHqHs[∂∂p(HqHsFp)+∂∂q(HpHsFq)+∂∂s(HpHqFs)] Например, в цилиндрических координатах №191 (я опять заменил z на h во избежание путаницы): →F=φarctgr→er+2→eφ−h2eh→eh div→F=1HrHφHh[∂∂r(HφHhFr)+∂∂φ(HrHhFφ)+∂∂h(HrHφFh)]= =1r[∂∂r(rFr)+∂∂φ(Fφ)+∂∂h(rFh)]= =1r[∂∂r(rφarctgr)+∂∂φ(2)+∂∂h(−h2ehr)]= =1r[φ(arctgr+r11+r2)−r(2heh+h2eh)]= =φrarctgr+φ1+r2−(2+h)heh. Задание: №192.
