Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

07.04.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия по векторному анализу гр. 06-822 в ср 8.04.2020, 10:10 и гр. 06-812 в пн 13.04.2020, 10:10 (Анчиков, №189, 191)

Криволинейные координаты и их орты

Положение точки в трёхмерном пространстве задаётся тремя числами. Но каким именно образом - тут возможно множество вариантов, и декартовы координаты - только один из них. Уже (хотя бы в курсе мат.анализа) использовались цилиндрические и сферические координаты, а ими возможности отнюдь не исчерпываются. Линии, на которых постоянна некоторая пара координат, и меняется третья координата - для декартовых координат являются прямыми, но в более общем случае - не обязательно, поэтому в общем случае координаты называются криволинейными. Например, если в сферических координатах зафиксировать координаты r и φ, и менять θ -- мы получим вертикальную полуокружность.

Пусть положение точки в декартовых координатах определяется координатами (x,y,z), но есть и другая система координат, в которой положение точки определяется координатами (p,q,s), причём функции {x=x(p,q,s)y=y(p,q,s)z=z(p,q,s) дифференцируемы. Радиус-вектор точки r=ix+jy+kz можно проинтегрировать по каждой криволинейной координате, например, по p: rp=ixp+jyp+kzp, Коэффициентами Ламэ называются модули полученных таким образом векторов: Hp|rp|=(xp)2+(yp)2+(zp)2, Нормируем на единицу производне типа rp: eprpHp,|ep|=1 Аналогично, Hq|rq|,Hs|rs| eqrqHq,esrsHs Векторы ep,eq,es -- орты новой системы координат. У ортогональных систем они имеют такие свойства: (epep)=1,(eqeq)=1,(eses)=1, (epeq)=0,(epes)=0,(eqes)=0, [ep×eq]=es,[eq×es]=ep,[es×ep]=eq. Например, для цилиндрических координат {x=rcosφy=rsinφz=h,r=(rcosφrsinφh) rr=(cosφsinφ0),rφ=(rsinφrcosφ0),rh=(001) Hr=cos2φ+sin2φ=1 Hφ=r2cos2φ+r2sin2φ=r Hh=0+0+1=1 тогда er=rrHr=(cosφsinφ0),eφ=rφHφ=(sinφcosφ0),eh=rhHh=(001). Причём, ereφ=(cosφsinφ0)(sinφcosφ0)=cosφsinφ+sinφcosφ=0,ereh=0,eheφ=0; er×eφ=|icosφsinφjsinφcosφk00|=k|cosφsinφsinφcosφ|=k(cos2φ(sin2φ))=k=(001)=eh, eφ×eh=eφ×[er×eφ]=er(eφeφ)eφ(eφer)=er1eφ0=er, eh×er=eh×[eφ×eh]=eφ(eheh)eh(eheφ)=eφ1eh0=eφ. Задание: найти коэффициенты Ламэ и орты сферических координат и проверить, что система сферических координат ортогональна.

Далее наша задача будет состоять в перезаписи в криволинейных координатах известных дифференциальных операторов: градиента, дивергенции и ротора. Так как те выражаются через производные по декартовым координатам, задача эта будет сводиться к замене переменных в дифференциальных выражениях (x,y,z)(p,q,s).

Градиент

Продифференцируем (1) по x, y и z: {1=xppx+xqqx+xssx0=yppx+yqqx+yssx0=zppx+zqqx+zssx{0=xppy+xqqy+xssy1=yppy+yqqy+yssy0=zppy+zqqy+zssy{0=xppz+xqqz+xssz0=yppz+yqqz+yssz1=zppz+zqqz+zssz По правилу Крамера, из первой системы px=|1xqxs0yqys0zqzs||xpxqxsypyqyszpzqzs|=(i,rq,rs)(rp,rq,rs)=HqHs(i,eq,es)HpHqHs(ep,eq,es)=1Hpi[eq×es]ep[eq×es]=1Hpiepepep=iepHp. Аналогично, из второй системы в (9) получаем py=|0xqxs1yqys0zqzs||xpxqxsypyqyszpzqzs|=jepHp,pz=|0xqxs0yqys1zqzs||xpxqxsypyqyszpzqzs|=kepHp. Так как для всякого вектора a=iax+jay+kaz=i(ia)+j(ja)+k(ka), gradp=ipx+jpy+kpz=iiepHp+jjepHp+kkepHp=epHp. Решая системы (9) относительно производных других координат, тем же путём находим, что gradq=eqHq,grads=esHs.

Градиент произвольной функции u(p,q,s) находится отсюда мгновенно: gradu=upgradp+uqgradq+usgrads=upHpep+uqHqeq+usHses Например, №189: Найти градиент в цилиндрических координатах поля (я тут дозаменил z на h) u=r2+2rcosφehsinφ ur=2r+2cosφ,uφ=2rsinφehcosφ,uh=ehsinφ gradu=urHrer+uφHφeφ+uhHheh=(2r+2cosφ)er+2rsinφehcosφreφehsinφeh. Задание: №190.

Вспомогательные формулы. Свойства производных e.

1) Возьмём свойство ортогональности ортов (извините) и продифференцируем по координате: γ|eαeβ=δαβ при этом сработает правило Лейбница eβγeα+eαγeβ=0 eβγeα=eαγeβ, где α, β и γ -- произвольные координаты из новой системы координат

2) В частности, когда α=β, eβγeβ=eβγeβ, Заменим ещё γ=α, и получим eβαeβ=0, 3) Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому rαβ подставим \vec{r}'{}_{\beta} и \vec{r}'{}_{\alpha}: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial\beta}\left(H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}\right)=\frac{\partial}{\partial\alpha}\left(H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}\right) \end{equation} Применим правило Лейбница и умножим обе части \begin{equation} \left.\frac{\partial}{\partial\beta}H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}+H_{\alpha}\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}+H_{\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\right|\cdot\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} В силу (\ref{eq:odnoe}) \begin{equation} H_{\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}, \end{equation} \begin{equation} \vec{e}{}_{\beta}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{1}{H_{\alpha}}\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta},\label{eq:dvae} \end{equation} где \alpha\neq\beta.

4)

Теперь умножим \begin{equation} \left.\frac{\partial}{\partial\beta}H_{\alpha}\vec{e}{}_{\alpha}+H_{\alpha}\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial\alpha}H_{\beta}\vec{e}{}_{\beta}+H_{\beta}\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta}\right|\cdot\vec{e}{}_{\gamma} \end{equation} (\gamma\neq\alpha, \gamma\neq\beta) \begin{equation} H_{\alpha}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=H_{\beta}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} \begin{equation} \vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\beta}\vec{e}{}_{\alpha}=\frac{H_{\beta}}{H_{\alpha}}\vec{e}{}_{\gamma}\cdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\vec{e}{}_{\beta} \end{equation} Эти четыре формулы пригодятся ниже.

Дивергенция

Для поля \vec{F}=\vec{i}P+\vec{j}Q+\vec{k}R дивергенция примет вид \mathrm{div}\,\vec{F}=P'_{x}+Q'_{y}+R'_{z}= =P'_{p}p'_{x}+P'_{q}q'_{x}+P'_{s}s'_{x}+Q'_{p}p'_{y}+Q'_{q}q'_{y}+Q'_{s}s'_{y}+R'_{p}p'_{z}+R'_{q}q'_{z}+R'_{s}s'_{z}= \begin{equation} =\left(P'_{p}p'_{x}+Q'_{p}p'_{y}+R'_{p}p'_{z}\right)+\left(P'_{q}q'_{x}+Q'_{q}q'_{y}+R'_{q}q'_{z}\right)+\left(P'_{s}s'_{x}+Q'_{s}s'_{y}+R'_{s}s'_{z}\right)= \end{equation} =\vec{F}'_{p}\cdot\mathrm{grad}\,p+\vec{F}'_{q}\cdot\mathrm{grad}\,q+\vec{F}'_{s}\cdot\mathrm{grad}\,s=\dfrac{\vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\dfrac{\vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}{}_{q}}{H_{q}}+\dfrac{\vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}{}_{s}}{H_{s}}

В локальном криволинейном базисе \vec{F}=F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s} \vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}_{p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s}\right)\cdot\vec{e}_{p}= \begin{equation} =\left(\frac{\partial}{\partial p}F_{p}\vec{e}{}_{p}+\frac{\partial}{\partial p}F_{q}\vec{e}{}_{q}+\frac{\partial}{\partial p}F_{s}\vec{e}{}_{s}+F_{p}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{s}\right)\cdot\vec{e}_{p}= \end{equation} по (\ref{eq:dvae}) =\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}\vec{e}_{p}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}_{p}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\vec{e}{}_{s}=\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}\frac{1}{H_{q}}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}\frac{1}{H_{s}}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}= =\frac{1}{H_{q}H_{s}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}\right). Так же получим, что \begin{equation} \vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}_{q}=\frac{1}{H_{p}H_{s}}\left(H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right), \end{equation} \begin{equation} \vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}_{s}=\frac{1}{H_{p}H_{q}}\left(H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}\right). \end{equation} Тогда \mathrm{div}\,\vec{F}=\dfrac{\vec{F}'_{p}\cdot\vec{e}{}_{p}}{H_{p}}+\dfrac{\vec{F}'_{q}\cdot\vec{e}{}_{q}}{H_{q}}+\dfrac{\vec{F}'_{s}\cdot\vec{e}{}_{s}}{H_{s}}= =\frac{1}{H_{q}H_{s}H_{p}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}\right)+ \frac{1}{H_{p}H_{s}H_{q}}\left(H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right)+ \frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left(H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}\right)= \begin{equation} =\frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left(H_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}F_{p}+F_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial p}H_{q}+F_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial p}H_{s}+\right. \end{equation} +H_{p}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}F_{q}+F_{q}H_{s}\frac{\partial}{\partial q}H_{p}+F_{q}H_{p}\frac{\partial}{\partial q}H_{s}+ \left.H_{p}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}F_{s}+F_{s}H_{q}\frac{\partial}{\partial s}H_{p}+F_{s}H_{p}\frac{\partial}{\partial s}H_{q}\right)= =\frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left[\frac{\partial}{\partial p}\left(H_{q}H_{s}F_{p}\right)+\frac{\partial}{\partial q}\left(H_{p}H_{s}F_{q}\right)+\frac{\partial}{\partial s}\left(H_{p}H_{q}F_{s}\right)\right] Например, в цилиндрических координатах №191 (я опять заменил z на h во избежание путаницы): \vec{F}=\varphi\mathrm{arctg}\,r\vec{e}_{r}+2\vec{e}_{\varphi}-h^{2}e^{h}\vec{e}_{h} \mathrm{div}\,\vec{F}=\frac{1}{H_{r}H_{\varphi}H_{h}}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(H_{\varphi}H_{h}F_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(H_{r}H_{h}F_{\varphi}\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(H_{r}H_{\varphi}F_{h}\right)\right]= =\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(rF_{r}\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(F_{\varphi}\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(rF_{h}\right)\right]= =\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r\varphi\mathrm{arctg}\,r\right)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(2\right)+\frac{\partial}{\partial h}\left(-h^{2}e^{h}r\right)\right]= =\frac{1}{r}\left[\varphi\left(\mathrm{arctg}\,r+r\frac{1}{1+r^{2}}\right)-r\left(2he^{h}+h^{2}e^{h}\right)\right]= =\frac{\varphi}{r}\mathrm{arctg}\,r+\frac{\varphi}{1+r^{2}}-\left(2+h\right)he^{h}. Задание: №192.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников