Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Найдём $d^{10}u$ от $$u=\ln\left(x+y\right).$$

Именно на такие случаи вы и проходили метод мат.индукции. Рассмотрим младших дифференциалов, попытавшись найти закономерности. Начнём с первого: $$du=d\ln\left(x+y\right)=\frac{1}{x+y}d\left(x+y\right)=\frac{dx+dy}{x+y}.$$ Так как $dx$ и $dy$ не зависят от $x$ и $y$, $d\left(dx+dy\right)=0$, и $$d^{2}u=d\frac{dx+dy}{x+y}=\left(dx+dy\right)d\frac{1}{x+y}=\left(dx+dy\right)\frac{-1}{\left(x+y\right)^{2}}d\left(x+y\right)=-\frac{\left(dx+dy\right)^{2}}{\left(x+y\right)^{2}}$$ $$d^{3}u=-d\frac{\left(dx+dy\right)^{2}}{\left(x+y\right)^{2}}=-\left(dx+dy\right)^{2}\frac{-2}{\left(x+y\right)^{3}}d\left(x+y\right)=2\frac{\left(dx+dy\right)^{3}}{\left(x+y\right)^{3}}$$ Некоторые на этом месте ломались и утверждали, что $$d^{n}u=\left(n-1\right)\frac{\left(dx+dy\right)^{n}}{\left(x+y\right)^{n}},$$ подставляя сюда $n=10$, а это совсем не так. Продолжим: $$d^{3}u=2\frac{\left(dx+dy\right)^{3}}{\left(x+y\right)^{3}}$$ $$d^{4}u=2d\frac{\left(dx+dy\right)^{3}}{\left(x+y\right)^{3}}=-6\frac{\left(dx+dy\right)^{4}}{\left(x+y\right)^{4}}$$ Похоже, что $$\begin{equation} d^{n}u=\left(-1\right)^{n+1}\left(n-1\right)!\frac{\left(dx+dy\right)^{n}}{\left(x+y\right)^{n}}.\label{gen} \end{equation}$$ По крайней мере, эта формула работает на первых четырёх дифференциалах. Но о дальнейшем мы сможем судить только после доказательства этой формулы в общем случае.

База уже доказана с перевыполнением плана: для неё было бы достаточно доказать верность формулы при $n=1$. Остаётся доказать шаг, то есть, что из верности этой формулы для некоего $n=m$ следует её верность для $n=m+1$. Иначе говоря, если $$\begin{equation} d^{m}u=\left(-1\right)^{m+1}\left(m-1\right)!\frac{\left(dx+dy\right)^{m}}{\left(x+y\right)^{m}},\label{eq:ww} \end{equation}$$ $$\begin{equation} d^{m+1}u=\left(-1\right)^{m+2}m!\frac{\left(dx+dy\right)^{m+1}}{\left(x+y\right)^{m+1}}.\label{eq:www} \end{equation}$$ Возьмём первый дифференциал от ($\ref{eq:ww}$): $$d^{m+1}u=\left(-1\right)^{m+1}\left(m-1\right)!d\frac{\left(dx+dy\right)^{m}}{\left(x+y\right)^{m}}=\left(-1\right)^{m+1}\left(m-1\right)!\left(dx+dy\right)^{m}d\frac{1}{\left(x+y\right)^{m}}=$$ $$=\left(-1\right)^{m+1}\left(m-1\right)!\left(dx+dy\right)^{m}\frac{-m}{\left(x+y\right)^{m+1}}d\left(x+y\right)=\left(-1\right)^{m+2}\left(m\right)!\left(dx+dy\right)^{m}\frac{1}{\left(x+y\right)^{m+1}}\left(dx+dy\right)=$$ $$=\left(-1\right)^{m+2}\left(m\right)!\frac{\left(dx+dy\right)^{m+1}}{\left(x+y\right)^{m+1}},$$ и получим, как и требовалось, ($\ref{eq:www}$), следовательно, формула ($\ref{gen}$) доказана.

И в частности, $$d^{10}u=\left(-1\right)^{10+1}\left(10-1\right)!\frac{\left(dx+dy\right)^{10}}{\left(x+y\right)^{10}}=-9!\frac{\left(dx+dy\right)^{10}}{\left(x+y\right)^{10}},$$ что и требовалось в задаче.