Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Дифференцирование неявных функций для функций многих переменных делается во многом так же, как для функций одной: берётся уравнение, задающее функцию, и дифференцируется; полученное решается относительно производной. Разница в том, что в этот раз от частей уравнения берутся частные производные.

Пример: №3384. Там функция $z\left(x,y\right)$ задаётся уравнением $$z^{3}-3xyz=a^{3}$$ Найдём $z_{x}'$: $$\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|z^{3}-3xyz=a^{3},$$ $$3z^{2}z_{x}'-3y\left(xz\right)_{x}'=0,$$ $$3z^{2}z_{x}'-3yz-3yxz_{x}'=0,$$ $$\begin{equation} \left(z^{2}-yx\right)z_{x}'=yz,\label{withzx} \end{equation}$$ $$\begin{equation} z_{x}'=\frac{yz}{z^{2}-yx}.\label{zx} \end{equation}$$ Теперь, похожим образом, $z_{y}'$: $$3z^{2}z_{y}'-3xz-3xyz_{y}'=0,$$ $$z^{2}z_{y}'-xyz_{y}'=xz,$$ $$z_{y}'=\frac{xz}{z^{2}-xy}.$$ Вторые производные, как и всегда, являются производными от первых производных. Но производная от выражения для первой производной будет содержать первую производную; её надо подставить из ранее полученного. Поэтому $z_{xx}''$ будет находиться так: сначала продифференцируем ($\ref{zx}$) по $x$ $$z_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\frac{yz}{z^{2}-yx}=\frac{yz_{x}'\left(z^{2}-yx\right)-yz\left(2zz_{x}'-y\right)}{\left(z^{2}-yx\right)^{2}}=\frac{yz^{2}z_{x}'-xy^{2}z_{x}'-2yz^{2}z_{x}'+y^{2}z}{\left(z^{2}-yx\right)^{2}}=$$ потом подставим $z_{x}'$ из того же ($\ref{zx}$) $$=\frac{y^{2}z}{\left(z^{2}-yx\right)^{2}}-y\frac{z^{2}+xy}{\left(z^{2}-yx\right)^{2}}z_{x}'=\frac{y^{2}z}{\left(z^{2}-yx\right)^{2}}-y\frac{z^{2}+xy}{\left(z^{2}-yx\right)^{2}}\frac{yz}{z^{2}-yx}=$$ инемного упростим $$=\frac{y^{2}z^{3}-xy^{3}z}{\left(z^{2}-yx\right)^{3}}-\frac{y^{2}z^{3}+xy^{3}z}{\left(z^{2}-yx\right)^{3}}=-\frac{2xy^{3}z}{\left(z^{2}-yx\right)^{3}}.$$ Не обязательно для получения вторых производных дифференцировать их выражения в явном виде. Можно продифференцировать и любое верное уравнение на первую производную. Поэтому $z_{xy}''$ мы найдём, дифференцируя по $y$ ($\ref{withzx}$) $$\left.\frac{\partial}{\partial y}\right|\left(z^{2}-yx\right)z_{x}'=yz,$$ $$\left(z^{2}-yx\right)z_{xy}''+\left(2zz_{y}'-x\right)z_{x}'=z+yz_{y}'.$$ Перенесём в правую часть всё, что без второй производной $$\left(z^{2}-yx\right)z_{xy}''=z+yz_{y}'+xz_{x}'-2zz_{x}'z_{y}',$$ подставим первые производные $$\left(z^{2}-yx\right)z_{xy}''=z+y\frac{xz}{z^{2}-xy}+x\frac{yz}{z^{2}-yx}-2z\frac{yz}{z^{2}-yx}\frac{xz}{z^{2}-xy}=$$ и приведём всё к общему знаменателю $$=z+\frac{2xyz}{z^{2}-xy}-\frac{2xyz^{3}}{\left(z^{2}-xy\right)^{2}}=z-\frac{2x^{2}y^{2}z}{\left(z^{2}-xy\right)^{2}}=\frac{z^{4}-2xyz^{2}-x^{2}y^{2}}{\left(z^{2}-xy\right)^{2}}z.$$ Выделим вторую производную из полученного $$z_{xy}''=\frac{z^{4}-2xyz^{2}-x^{2}y^{2}}{\left(z^{2}-xy\right)^{3}}z=\frac{z^{5}-2xyz^{3}-x^{2}y^{2}z}{\left(z^{2}-xy\right)^{3}}=$$ и понизим степени $z$ $$=\frac{a^{3}z^{2}+xyz^{3}-x^{2}y^{2}z}{\left(z^{2}-xy\right)^{3}}=\frac{a^{3}z^{2}+a^{3}xy+2x^{2}y^{2}z}{\left(z^{2}-xy\right)^{3}},$$ пользуясь исходным уравнением $$z^{3}-3xyz=a^{3}$$ и его очевидными следствиями $$z^{3}=a^{3}+3xyz,$$ $$z^{5}=z^{2}\left(a^{3}+3xyz\right)=a^{3}z^{2}+3xyz^{3}.$$ Наконец, последняя из вторых производных $z_{yy}''$ находится так: $$z_{yy}''=\frac{\partial}{\partial y}\frac{xz}{z^{2}-xy}=\frac{xz_{y}'\left(z^{2}-xy\right)-xz\left(2zz_{y}'-x\right)}{\left(z^{2}-xy\right)^{2}}=\frac{-\left(xz^{2}+x^{2}y\right)z_{y}'+x^{2}z}{\left(z^{2}-xy\right)^{2}}=$$ $$=-\frac{xz^{2}+x^{2}y}{\left(z^{2}-xy\right)^{2}}\frac{xz}{z^{2}-xy}+\frac{x^{2}z}{\left(z^{2}-xy\right)^{2}}=\frac{x^{2}z\left(z^{2}-xy\right)}{\left(z^{2}-xy\right)^{3}}-x^{2}z\frac{z^{2}+xy}{\left(z^{2}-xy\right)^{3}}=-2\frac{x^{3}yz}{\left(z^{2}-xy\right)^{3}}.$$ Задание: №3383, 3385, 3386

Похоже считаются дифференциалы - главное, не собирать их из частных производных и помнить, что производные порядков выше первого от независимых переменных равны нулю, а от функций - нет.

Пример: № 3391 $$xyz=x+y+z.$$ Берём дифференциал от обеих частей $$yzdx+xzdy+xydz=dx+dy+dz,$$ переносим всё, что с $z$ - влево, а всё, что без - вправо $$\begin{equation} \left(xy-1\right)dz=dx+dy-yzdx-xzdy,\label{dz0} \end{equation}$$ отсюда мы потом выразим $dz$, а пока продифференцируем ещё раз, чтобы найти $d^{2}z$ $$\left(xy-1\right)d^{2}z+\left(ydx+xdy\right)dz=-\left(ydz+zdy\right)dx-\left(xdz+zdx\right)dy=-ydxdz-zdxdy-xdydz-zdydx=$$ $$=-\left(ydx+xdy\right)dz-2zdxdy.$$ Выразим $d^{2}z$ через $dz$ $$d^{2}z=-2\frac{ydx+xdy}{xy-1}dz-2\frac{z}{xy-1}dxdy,$$ и найдя $dz$ из ($\ref{dz0}$) $$dz=\frac{dx+dy}{xy-1}-\frac{ydx+xdy}{xy-1}z,$$ подставим в $d^{2}z$: $$d^{2}z=-2\frac{ydx+xdy}{xy-1}\left(\frac{dx+dy}{xy-1}-\frac{ydx+xdy}{xy-1}z\right)-2\frac{z}{xy-1}dxdy=$$ $$=-2\frac{\left(ydx+xdy\right)\left(dx+dy\right)}{\left(xy-1\right)^{2}}+2\frac{\left(ydx+xdy\right)^{2}}{\left(xy-1\right)^{2}}z-2\frac{z}{xy-1}dxdy.$$ Задание: №3390, 3392

Замена переменных в дифференциальных выражениях, которая будет нашей следующей темой, делается на теоретической основе, изложенной выше; главным применяемым свойством является формула для производной сложной функции.

Пример: № 3460 перейти от независимых переменных $\left(x,y\right)$ к переменным $\left(\xi,\eta\right)$, связанным со старыми соотношениями $$\left\{ \begin{array}{l} \xi=x,\\ \eta=y-bz; \end{array}\right.$$ в уравнении $$az_{x}'+bz_{y}'=1.$$ Итак, теперь мы будем считать функцию $z\left(x,y\right)$ функцией $z\left(\xi,\eta\right)$. В исходном уравнении присутствовали производные по старым переменным, которые нужно заменить на производные по новым. Но новые переменные связаны со старыми и являются их функциями, следовательно по формуле производной сложной функции $$z_{x}'=z_{\xi}'\xi_{x}'+z_{\eta}'\eta_{x}'.$$ Производные $\xi_{x}'$ и $\eta_{x}'$ найдём, продифференцировав уравнения связи по $x$: $$\left\{ \begin{array}{l} \xi_{x}'=1,\\ \eta_{x}'=-bz_{x}'; \end{array}\right.$$ отсюда $$z_{x}'=z_{\xi}'\cdot1+z_{\eta}'\left(-bz_{x}'\right)=z_{\xi}'-bz_{\eta}'z_{x}',$$ выразим из уравнения выше $z_{x}'$ $$\left(1+bz_{\eta}'\right)z_{x}'=z_{\xi}',$$ $$z_{x}'=\frac{z_{\xi}'}{1+bz_{\eta}'}.$$ Аналогично $$z_{y}'=z_{\xi}'\xi_{y}'+z_{\eta}'\eta_{y}',$$ $$\left\{ \begin{array}{l} \xi_{y}'=0,\\ \eta_{y}'=1-bz_{y}'; \end{array}\right.$$ $$z_{y}'=z_{\xi}'\cdot0+z_{\eta}'\left(1-bz_{y}'\right)=z_{\eta}'-bz_{\eta}'z_{y}'$$ $$z_{y}'=\frac{z_{\eta}'}{1+bz_{\eta}'}$$ Подставим в уравнение: $$a\frac{z_{\xi}'}{1+bz_{\eta}'}+b\frac{z_{\eta}'}{1+bz_{\eta}'}=1,$$ переменные не входят в уравнение кроме как в виде переменных дифференцирования, поэтому на этом шаге замена переменных как таковая окончена. Дальше перейдём к упрощениям $$az_{\xi}'+bz_{\eta}'=1+bz_{\eta}',$$ $$az_{\xi}'=1,\qquad z_{\xi}'=\frac{1}{a}.$$ Последнее уравнение нетрудно решить. Частную производную по $\xi$ даёт, очевидно, выражение $\frac{1}{a}\xi$; для получения же полного решения - к нему нужно прибавить слагаемое, производная которого по $\xi$ даёт 0. Для функций одной переменной такой добавкой была бы произвольная константа, но для функций многих - этим дело не ограничивается. Дело в том, что для равенства нулю производной по $\xi$ добавка не должна зависеть только от $\xi$ - но от остальных переменных может; в случае переменных $\left(\xi,\eta\right)$ эта добавка - произвольная функция от $\eta$. Легко заметить, что константа является частным случаем такой функции. В итоге, общее решение получается таким: $$z=\frac{1}{a}\xi+\varphi\left(\eta\right)$$ Задание: №№ 3458, 3459, 3461.

ОБН Исправлено 20.04.2020, за замеченные ошибки выносится благодарность тов. Гилямовой.