Дифференцирование неявных функций для функций многих переменных делается во многом так же, как для функций одной: берётся уравнение, задающее функцию, и дифференцируется; полученное решается относительно производной. Разница в том, что в этот раз от частей уравнения берутся частные производные.
Пример: №3384. Там функция z(x,y) задаётся уравнением z3−3xyz=a3
Найдём z′x:
∂∂x|z3−3xyz=a3,
3z2z′x−3y(xz)′x=0,
3z2z′x−3yz−3yxz′x=0,
(z2−yx)z′x=yz,
z′x=yzz2−yx.
Теперь, похожим образом, z′y:
3z2z′y−3xz−3xyz′y=0,
z2z′y−xyz′y=xz,
z′y=xzz2−xy.
Вторые производные, как и всегда, являются производными от первых
производных. Но производная от выражения для первой производной будет
содержать первую производную; её надо подставить из ранее полученного.
Поэтому z″xx будет находиться так: сначала продифференцируем
(2) по x
z″xx=∂∂xyzz2−yx=yz′x(z2−yx)−yz(2zz′x−y)(z2−yx)2=yz2z′x−xy2z′x−2yz2z′x+y2z(z2−yx)2=
потом подставим z′x из того же (2)
=y2z(z2−yx)2−yz2+xy(z2−yx)2z′x=y2z(z2−yx)2−yz2+xy(z2−yx)2yzz2−yx=
инемного упростим
=y2z3−xy3z(z2−yx)3−y2z3+xy3z(z2−yx)3=−2xy3z(z2−yx)3.
Не обязательно для получения вторых производных дифференцировать их
выражения в явном виде. Можно продифференцировать и любое верное уравнение
на первую производную. Поэтому z″xy мы найдём, дифференцируя
по y (1)
∂∂y|(z2−yx)z′x=yz,
(z2−yx)z″xy+(2zz′y−x)z′x=z+yz′y.
Перенесём в правую часть всё, что без второй производной
(z2−yx)z″xy=z+yz′y+xz′x−2zz′xz′y,
подставим первые производные
(z2−yx)z″xy=z+yxzz2−xy+xyzz2−yx−2zyzz2−yxxzz2−xy=
и приведём всё к общему знаменателю
=z+2xyzz2−xy−2xyz3(z2−xy)2=z−2x2y2z(z2−xy)2=z4−2xyz2−x2y2(z2−xy)2z.
Выделим вторую производную из полученного
z″xy=z4−2xyz2−x2y2(z2−xy)3z=z5−2xyz3−x2y2z(z2−xy)3=
и понизим степени z
=a3z2+xyz3−x2y2z(z2−xy)3=a3z2+a3xy+2x2y2z(z2−xy)3,
пользуясь исходным уравнением
z3−3xyz=a3
и его очевидными следствиями
z3=a3+3xyz,
z5=z2(a3+3xyz)=a3z2+3xyz3.
Наконец, последняя из вторых производных z″yy находится так:
z″yy=∂∂yxzz2−xy=xz′y(z2−xy)−xz(2zz′y−x)(z2−xy)2=−(xz2+x2y)z′y+x2z(z2−xy)2=
=−xz2+x2y(z2−xy)2xzz2−xy+x2z(z2−xy)2=x2z(z2−xy)(z2−xy)3−x2zz2+xy(z2−xy)3=−2x3yz(z2−xy)3.
Задание: №3383, 3385, 3386
Похоже считаются дифференциалы - главное, не собирать их из частных производных и помнить, что производные порядков выше первого от независимых переменных равны нулю, а от функций - нет.
Пример: № 3391 xyz=x+y+z.
Берём дифференциал от обеих частей
yzdx+xzdy+xydz=dx+dy+dz,
переносим всё, что с z - влево, а всё, что без - вправо
(xy−1)dz=dx+dy−yzdx−xzdy,
отсюда мы потом выразим dz, а пока продифференцируем ещё раз, чтобы
найти d2z
(xy−1)d2z+(ydx+xdy)dz=−(ydz+zdy)dx−(xdz+zdx)dy=−ydxdz−zdxdy−xdydz−zdydx=
=−(ydx+xdy)dz−2zdxdy.
Выразим d2z через dz
d2z=−2ydx+xdyxy−1dz−2zxy−1dxdy,
и найдя dz из (3)
dz=dx+dyxy−1−ydx+xdyxy−1z,
подставим в d2z:
d2z=−2ydx+xdyxy−1(dx+dyxy−1−ydx+xdyxy−1z)−2zxy−1dxdy=
=−2(ydx+xdy)(dx+dy)(xy−1)2+2(ydx+xdy)2(xy−1)2z−2zxy−1dxdy.
Задание: №3390, 3392
Замена переменных в дифференциальных выражениях, которая будет нашей следующей темой, делается на теоретической основе, изложенной выше; главным применяемым свойством является формула для производной сложной функции.
Пример: № 3460 перейти от независимых переменных (x,y) к переменным (ξ,η), связанным со старыми соотношениями {ξ=x,η=y−bz;
в уравнении
az′x+bz′y=1.
Итак, теперь мы будем считать функцию z(x,y) функцией
z(ξ,η). В исходном уравнении присутствовали производные
по старым переменным, которые нужно заменить на производные по новым.
Но новые переменные связаны со старыми и являются их функциями, следовательно
по формуле производной сложной функции
z′x=z′ξξ′x+z′ηη′x.
Производные ξ′x и η′x найдём, продифференцировав
уравнения связи по x:
{ξ′x=1,η′x=−bz′x;
отсюда
z′x=z′ξ⋅1+z′η(−bz′x)=z′ξ−bz′ηz′x,
выразим из уравнения выше z′x
(1+bz′η)z′x=z′ξ,
z′x=z′ξ1+bz′η.
Аналогично
z′y=z′ξξ′y+z′ηη′y,
{ξ′y=0,η′y=1−bz′y;
z′y=z′ξ⋅0+z′η(1−bz′y)=z′η−bz′ηz′y
z′y=z′η1+bz′η
Подставим в уравнение:
az′ξ1+bz′η+bz′η1+bz′η=1,
переменные не входят в уравнение кроме как в виде переменных дифференцирования,
поэтому на этом шаге замена переменных как таковая окончена. Дальше
перейдём к упрощениям
az′ξ+bz′η=1+bz′η,
az′ξ=1,z′ξ=1a.
Последнее уравнение нетрудно решить. Частную производную по ξ
даёт, очевидно, выражение 1aξ; для получения же полного
решения - к нему нужно прибавить слагаемое, производная которого по
ξ даёт 0. Для функций одной переменной такой добавкой была бы
произвольная константа, но для функций многих - этим дело не ограничивается.
Дело в том, что для равенства нулю производной по ξ добавка не
должна зависеть только от ξ - но от остальных переменных может;
в случае переменных (ξ,η) эта добавка - произвольная
функция от η. Легко заметить, что константа является частным
случаем такой функции. В итоге, общее решение получается таким:
z=1aξ+φ(η)
Задание: №№ 3458, 3459, 3461.
ОБН Исправлено 20.04.2020, за замеченные ошибки выносится благодарность тов. Гилямовой.
