О том, как ротор стал таким — вот это видео. Добавляйте и качайте, раздавайте другим. Если поставить на ночь — к утру должно скачаться.
Коэффициенты Ламэ для цилиндрических координат были получены в прошлый раз: Hr=1,Hφ=r,Hz=1. В общем случае ротор rot→F=1HpHqHs|Hp→ep∂/∂pHpFpHq→eq∂/∂qHqFqHs→es∂/∂sHsFs| В цилиндрических координатах rot→F=1HrHφHz|Hr→er∂/∂rHrFrHφ→eφ∂/∂φHφFφHz→ez∂/∂zHzFz|=1r|→er∂/∂rFrr→eφ∂/∂φrFφ→ez∂/∂zFz|. В общем случае лапласиан Δu=[1H2pupp″ В цилиндрических координатах \Delta u=\left[\frac{1}{H_{r}^{2}}u''_{rr}+\frac{1}{H_{\varphi}^{2}}u''_{\varphi\varphi}+\frac{1}{H_{z}^{2}}u''_{zz}\right]+\frac{1}{H_{r}H_{\varphi}H_{z}}\left[u'_{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{H_{\varphi}H_{z}}{H_{r}}\right)+u'_{\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\frac{H_{r}H_{z}}{H_{\varphi}}\right)+u'_{z}\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{H_{r}H_{\varphi}}{H_{z}}\right)\right]= =\left[u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}\right]+\frac{1}{r}\left[u'_{r}\frac{\partial}{\partial r}r+u'_{\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi}\frac{1}{r}+u'_{z}\frac{\partial}{\partial z}r\right]= =u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r} Пример: Анчиков, №193 Найти ротор векторного \vec{F} поля в цилиндрических координатах \vec{F}=\cos\varphi\vec{e}_{r}-\frac{\sin\varphi}{r}\vec{e}_{\varphi}+r^{2}\vec{e}_{z}. F_{r}=\cos\varphi,\quad F_{\varphi}=-\frac{\sin\varphi}{r},\quad F_{z}=r^{2}. \mathrm{rot}\,\vec{F}=\dfrac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & F_{r}\\ r\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & rF_{\varphi}\\ \vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & F_{z} \end{array}\right|=\dfrac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & \cos\varphi\\ r\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & -\sin\varphi\\ \vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & r^{2} \end{array}\right|= =\frac{1}{r}\left[\vec{e}_{r}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial\varphi} & -\sin\varphi\\ {\partial}/{\partial z} & r^{2} \end{array}\right|-r\vec{e}_{\varphi}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial r} & \cos\varphi\\ {\partial}/{\partial z} & r^{2} \end{array}\right|+\vec{e}_{z}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial r} & \cos\varphi\\ {\partial}/{\partial\varphi} & -\sin\varphi \end{array}\right|\right]= =\frac{1}{r}\left[\vec{e}_{r}\left(\frac{\partial}{\partial\varphi}r^{2}+\frac{\partial}{\partial z}\sin\varphi\right)-r\vec{e}_{\varphi}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^{2}-\frac{\partial}{\partial z}\cos\varphi\right)+\vec{e}_{z}\left(-\frac{\partial}{\partial r}\sin\varphi-\frac{\partial}{\partial\varphi}\cos\varphi\right)\right]= =\frac{1}{r}\left(\sin\varphi\vec{e}_{r}-2r^{2}\vec{e}_{\varphi}\right)=\frac{\sin\varphi}{r}\vec{e}_{r}-2r\vec{e}_{\varphi}. Пример: Анчиков, №199 Найти лапласиан скалярного u поля в цилиндрических координатах u=r^{2}\varphi+z^{2}\varphi^{3}-r\varphi z, u_{r}'=2r\varphi-\varphi z, u_{rr}''=2\varphi, u''_{\varphi\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(r^{2}+3z^{2}\varphi^{2}-rz\right)=6z^{2}\varphi, u''_{zz}=\frac{\partial}{\partial z}\left(2z\varphi^{3}-r\varphi\right)=2\varphi^{3}; \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=2\varphi+\frac{1}{r^{2}}6z^{2}\varphi+2\varphi^{3}+\frac{1}{r}\left(2r\varphi-\varphi z\right)= =2\varphi^{3}+4\varphi+6\frac{z^{2}\varphi}{r^{2}}-\frac{\varphi z}{r}. Пример: Анчиков, №198 Найти гармонические функции, зависящие от указанных координат а) u=u(r) \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=u''_{rr}+\frac{1}{r}u'_{r}=0, u''_{rr}=-\frac{1}{r}u'_{r}, \frac{u''_{rr}}{u'_{r}}=\left(\ln u'_{r}\right)_{r}^{\prime}=-\frac{1}{r}, \ln u'_{r}=-\ln r+\hat{C}_{1}, u'_{r}=e^{-\ln r+\hat{C}_{1}}=e^{-\ln r}e^{\hat{C}_{1}}=\frac{1}{r}C_{1}, u=C_{1}\ln r+C_{2}. б) u=u(\varphi) \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}=0, u''_{\varphi\varphi}=0, u=C_{1}\varphi+C_{2}. в) u=u(z) \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=u''_{zz}=0, u=C_{1}z+C_{2}. Записать ротор и лапласиан в сферических координатах, коэффициенты Ламэ для них было задано найти в прошлый раз. Решить самостоятельно: 194, 200, 197, 196. Не готовое к концу занятия остаётся на дом, через неделю буду спрашивать весь список.