О том, как ротор стал таким — вот это видео. Добавляйте и качайте, раздавайте другим. Если поставить на ночь — к утру должно скачаться.
Коэффициенты Ламэ для цилиндрических координат были получены в прошлый раз: \[ H_{r}=1,\quad H_{\varphi}=r,\quad H_{z}=1. \] В общем случае ротор \[ \mathrm{rot}\,\vec{F}=\dfrac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left|\begin{array}{ccc} H_{p}\vec{e}_{p} & {\partial}/{\partial p} & H_{p}F_{p}\\ H_{q}\vec{e}_{q} & {\partial}/{\partial q} & H_{q}F_{q}\\ H_{s}\vec{e}_{s} & {\partial}/{\partial s} & H_{s}F_{s} \end{array}\right| \] В цилиндрических координатах \[ \mathrm{rot}\,\vec{F}=\dfrac{1}{H_{r}H_{\varphi}H_{z}}\left|\begin{array}{ccc} H_{r}\vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & H_{r}F_{r}\\ H_{\varphi}\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & H_{\varphi}F_{\varphi}\\ H_{z}\vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & H_{z}F_{z} \end{array}\right|=\dfrac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & F_{r}\\ r\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & rF_{\varphi}\\ \vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & F_{z} \end{array}\right|. \] В общем случае лапласиан \[ \Delta u=\left[\frac{1}{H_{p}^{2}}u''_{pp}+\frac{1}{H_{q}^{2}}u''_{qq}+\frac{1}{H_{s}^{2}}u''_{ss}\right]+\frac{1}{H_{p}H_{q}H_{s}}\left[u'_{p}\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{H_{q}H_{s}}{H_{p}}\right)+u'_{q}\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{H_{p}H_{s}}{H_{q}}\right)+u'_{s}\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{H_{p}H_{q}}{H_{s}}\right)\right] \] В цилиндрических координатах \[ \Delta u=\left[\frac{1}{H_{r}^{2}}u''_{rr}+\frac{1}{H_{\varphi}^{2}}u''_{\varphi\varphi}+\frac{1}{H_{z}^{2}}u''_{zz}\right]+\frac{1}{H_{r}H_{\varphi}H_{z}}\left[u'_{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{H_{\varphi}H_{z}}{H_{r}}\right)+u'_{\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\frac{H_{r}H_{z}}{H_{\varphi}}\right)+u'_{z}\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{H_{r}H_{\varphi}}{H_{z}}\right)\right]= \] \[ =\left[u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}\right]+\frac{1}{r}\left[u'_{r}\frac{\partial}{\partial r}r+u'_{\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi}\frac{1}{r}+u'_{z}\frac{\partial}{\partial z}r\right]= \] \[ =u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r} \] Пример: Анчиков, №193 Найти ротор векторного $\vec{F}$ поля в цилиндрических координатах \[ \vec{F}=\cos\varphi\vec{e}_{r}-\frac{\sin\varphi}{r}\vec{e}_{\varphi}+r^{2}\vec{e}_{z}. \] \[ F_{r}=\cos\varphi,\quad F_{\varphi}=-\frac{\sin\varphi}{r},\quad F_{z}=r^{2}. \] \[ \mathrm{rot}\,\vec{F}=\dfrac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & F_{r}\\ r\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & rF_{\varphi}\\ \vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & F_{z} \end{array}\right|=\dfrac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & \cos\varphi\\ r\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & -\sin\varphi\\ \vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & r^{2} \end{array}\right|= \] \[ =\frac{1}{r}\left[\vec{e}_{r}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial\varphi} & -\sin\varphi\\ {\partial}/{\partial z} & r^{2} \end{array}\right|-r\vec{e}_{\varphi}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial r} & \cos\varphi\\ {\partial}/{\partial z} & r^{2} \end{array}\right|+\vec{e}_{z}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial r} & \cos\varphi\\ {\partial}/{\partial\varphi} & -\sin\varphi \end{array}\right|\right]= \] \[ =\frac{1}{r}\left[\vec{e}_{r}\left(\frac{\partial}{\partial\varphi}r^{2}+\frac{\partial}{\partial z}\sin\varphi\right)-r\vec{e}_{\varphi}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^{2}-\frac{\partial}{\partial z}\cos\varphi\right)+\vec{e}_{z}\left(-\frac{\partial}{\partial r}\sin\varphi-\frac{\partial}{\partial\varphi}\cos\varphi\right)\right]= \] \[ =\frac{1}{r}\left(\sin\varphi\vec{e}_{r}-2r^{2}\vec{e}_{\varphi}\right)=\frac{\sin\varphi}{r}\vec{e}_{r}-2r\vec{e}_{\varphi}. \] Пример: Анчиков, №199 Найти лапласиан скалярного $u$ поля в цилиндрических координатах \[ u=r^{2}\varphi+z^{2}\varphi^{3}-r\varphi z, \] \[ u_{r}'=2r\varphi-\varphi z, \] \[ u_{rr}''=2\varphi, \] \[ u''_{\varphi\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(r^{2}+3z^{2}\varphi^{2}-rz\right)=6z^{2}\varphi, \] \[ u''_{zz}=\frac{\partial}{\partial z}\left(2z\varphi^{3}-r\varphi\right)=2\varphi^{3}; \] \[ \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=2\varphi+\frac{1}{r^{2}}6z^{2}\varphi+2\varphi^{3}+\frac{1}{r}\left(2r\varphi-\varphi z\right)= \] \[ =2\varphi^{3}+4\varphi+6\frac{z^{2}\varphi}{r^{2}}-\frac{\varphi z}{r}. \] Пример: Анчиков, №198 Найти гармонические функции, зависящие от указанных координат а) $u=u(r)$ \[ \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=u''_{rr}+\frac{1}{r}u'_{r}=0, \] \[ u''_{rr}=-\frac{1}{r}u'_{r}, \] \[ \frac{u''_{rr}}{u'_{r}}=\left(\ln u'_{r}\right)_{r}^{\prime}=-\frac{1}{r}, \] \[ \ln u'_{r}=-\ln r+\hat{C}_{1}, \] \[ u'_{r}=e^{-\ln r+\hat{C}_{1}}=e^{-\ln r}e^{\hat{C}_{1}}=\frac{1}{r}C_{1}, \] \[ u=C_{1}\ln r+C_{2}. \] б) $u=u(\varphi)$ \[ \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}=0, \] \[ u''_{\varphi\varphi}=0, \] \[ u=C_{1}\varphi+C_{2}. \] в) $u=u(z)$ \[ \Delta u=u''_{rr}+\frac{1}{r^{2}}u''_{\varphi\varphi}+u''_{zz}+\frac{1}{r}u'_{r}=u''_{zz}=0, \] \[ u=C_{1}z+C_{2}. \] Записать ротор и лапласиан в сферических координатах, коэффициенты Ламэ для них было задано найти в прошлый раз. Решить самостоятельно: 194, 200, 197, 196. Не готовое к концу занятия остаётся на дом, через неделю буду спрашивать весь список.
