Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

В уравнении \[ z_{xx}''+z_{yy}''+m^{2}z=0 \] произвести замену \[ \left\{ \begin{array}{c} x=e^{u}\cos v,\\ y=e^{u}\sin v. \end{array}\right. \]

Как уже известно, \[ z_{x}'=z_{u}'u_{x}'+z_{v}'v_{x}'. \] Продифференцировав обе части по $x$, получим вторую производную, после чего воспользуемся правилом Лейбница \[ z_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(z_{u}'u_{x}'+z_{v}'v_{x}'\right)=\frac{\partial}{\partial x}z_{u}'u_{x}'+z_{u}'\frac{\partial}{\partial x}u_{x}'+\frac{\partial}{\partial x}z_{v}'v_{x}'+z_{v}'\frac{\partial}{\partial x}v_{x}'= \] Производные $\frac{\partial}{\partial x}z_{u}'$ и $\frac{\partial}{\partial x}z_{v}'$ будут вычисляться аналогично $z_{x}'$: \[ =\left(z_{uu}''u_{x}'+z_{uv}''v_{x}'\right)u_{x}'+z_{u}'u_{xx}''+\left(z_{vu}''u_{x}'+z_{vv}''v_{x}'\right)v_{x}'+z_{v}'v_{xx}''= \] далее раскроем скобки и соберём подобные \[ =z_{uu}''\left(u_{x}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{x}'v_{x}'+z_{vv}''\left(v_{x}'\right)^{2}+z_{u}'u_{xx}''+z_{v}'v_{xx}''. \] По аналогии, \[ z_{yy}''=z_{uu}''\left(u_{y}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{y}'v_{y}'+z_{vv}''\left(v_{y}'\right)^{2}+z_{u}'u_{yy}''+z_{v}'v_{yy}''. \] Для того, чтобы воспользоваться этими формулами в нашей задаче, нам придётся получить многочисленные производные новых переменных по старым. Для этого продифференцируем уравнения замены, сначала - по $x$: \[ \left\{ \begin{array}{c} 1=e^{u}u_{x}'\cos v-e^{u}\sin vv_{x}'\\ 0=e^{u}u_{x}'\sin v+e^{u}\cos vv_{x}' \end{array}\right. \] Получили мы при этом систему линейных неоднородных уравнений, из которых найдём производные $u_{x}'$ и $v_{x}'$: \[ +\begin{array}{c} \left.1=e^{u}u_{x}'\cos v-e^{u}\sin vv_{x}'\right|\cos v\\ \left.0=e^{u}u_{x}'\sin v+e^{u}\cos vv_{x}'\right|\sin v \end{array} \] \[ +\begin{array}{r} \cos v=e^{u}u_{x}'\cos^{2}v-e^{u}\sin v\cos vv_{x}'\\ 0=e^{u}u_{x}'\sin^{2}v+e^{u}\cos v\sin vv_{x}' \end{array} \] \[ \cos v=e^{u}u_{x}' \] \[ u_{x}'=e^{-u}\cos v \] \[ -\begin{array}{c} \left.1=e^{u}u_{x}'\cos v-e^{u}\sin vv_{x}'\right|\sin v\\ \left.0=e^{u}u_{x}'\sin v+e^{u}\cos vv_{x}'\right|\cos v \end{array} \] \[ -\begin{array}{r} \sin v=e^{u}u_{x}'\cos v\sin v-e^{u}\sin^{2}vv_{x}'\\ 0=e^{u}u_{x}'\sin v\cos v+e^{u}\cos^{2}vv_{x}' \end{array} \] \[ \sin v=-e^{u}v_{x}' \] \[ v_{x}'=-e^{-u}\sin v \] Производные $u_{x}'$ и $v_{x}'$ ещё раз продифференцируем по $x$: \[ u_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(u_{x}'\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-u}\cos v\right)=-e^{-u}u_{x}'\cos v-e^{-u}\sin vv_{x}'=-e^{-2u}\cos^{2}v+e^{-2u}\sin^{2}v=-e^{-2u}\cos\left(2v\right) \] \[ v_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(v_{x}'\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-e^{-u}\sin v\right)=e^{-u}\sin vu_{x}'-e^{-u}\cos vv_{x}'=e^{-2u}\sin v\cos v+e^{-2u}\cos v\sin v=e^{-2u}\sin\left(2v\right) \] Теперь, похожим образом, найдём $u_{y}'$ и $v_{y}'$: \[ \left\{ \begin{array}{c} 0=e^{u}u_{y}'\cos v-e^{u}\sin vv_{y}'\\ 1=e^{u}u_{y}'\sin v+e^{u}\cos vv_{y}' \end{array}\right. \] \[ \begin{array}{r} 0=e^{u}u_{y}'\cos^{2}v-e^{u}\sin v\cos vv_{y}'\\ \sin v=e^{u}u_{y}'\sin^{2}v+e^{u}\cos v\sin vv_{y}' \end{array} \] \[ u_{y}'=e^{-u}\sin v \] \[ u_{y}'\cos v=\sin vv_{y}' \] \[ e^{-u}\sin v\cos v=\sin vv_{y}' \] \[ v_{y}'=e^{-u}\cos v \] и их производные: \[ u_{yy}''=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-u}\sin v\right)=-e^{-u}u_{y}'\sin v+e^{-u}\cos vv_{y}'=-e^{-2u}\sin^{2}v+e^{-2u}\cos^{2}v=e^{-2u}\cos\left(2v\right) \] \[ v_{yy}''=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-u}\cos v\right)=-e^{-u}u_{y}'\cos v-e^{-u}\sin vv_{y}'=-e^{-2u}\sin v\cos v-e^{-2u}\sin v\cos v=-e^{-2u}\sin\left(2v\right) \] А теперь используем найденное, чтобы получить производные $z_{xx}''$ и $z_{yy}''$: \[ z_{xx}''=z_{uu}''\left(u_{x}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{x}'v_{x}'+z_{vv}''\left(v_{x}'\right)^{2}+z_{u}'u_{xx}''+z_{v}'v_{xx}''= \] \[ =z_{uu}''\left(e^{-u}\cos v\right)^{2}-2z_{uv}''\left(e^{-u}\cos v\right)\left(e^{-u}\sin v\right)+z_{vv}''\left(-e^{-u}\sin v\right)^{2}-z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)+z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)= \] \[ =z_{uu}''e^{-2u}\cos^{2}v-z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\sin^{2}v-z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)+z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right) \] \[ z_{yy}''=z_{uu}''\left(u_{y}'\right)^{2}+2z_{uv}''u_{y}'v_{y}'+z_{vv}''\left(v_{y}'\right)^{2}+z_{u}'u_{yy}''+z_{v}'v_{yy}''= \] \[ =z_{uu}''\left(e^{-u}\sin v\right)^{2}+2z_{uv}''\left(e^{-u}\sin v\right)\left(e^{-u}\cos v\right)+z_{vv}''\left(e^{-u}\cos v\right)^{2}+z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)-z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)= \] \[ =z_{uu}''e^{-2u}\sin^{2}v+z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\cos^{2}v+z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)-z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right) \] В исходном уравнении присутствовала сумма этих производных, которая хорошо упрощается, так что вычислим её отдельно: \[ z_{xx}''+z_{yy}''= \] \[ =z_{uu}''e^{-2u}\cos^{2}v-z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\sin^{2}v-z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)+z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)+ \] \[ +z_{uu}''e^{-2u}\sin^{2}v+z_{uv}''e^{-2u}\sin2v+z_{vv}''e^{-2u}\cos^{2}v+z_{u}'e^{-2u}\cos\left(2v\right)-z_{v}'e^{-2u}\sin\left(2v\right)= \] \[ =z_{uu}''e^{-2u}+0+z_{vv}''e^{-2u}+0+0=\left(z_{uu}''+z_{vv}''\right)e^{-2u} \] Подставим эту сумму в исходное уравнение \[ z_{xx}''+z_{yy}''+m^{2}z=0, \] и получим \[ \left(z_{uu}''+z_{vv}''\right)e^{-2u}+m^{2}z=0, \] и окончательно, \[ z_{uu}''+z_{vv}''+m^{2}ze^{2u}=0. \]