Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

В уравнении \[ z_{xx}''-2z_{xy}''+z_{yy}''=0 \] произвести замену \[ \left\{ \begin{array}{c} u=x+y\\ v=\frac{y}{x}\\ w=\frac{z}{x} \end{array}\right. \]

Традиционно считается, что $w$ - функция от новых независимых переменных $u$ и $v$. Поэтому первым делом мы выразим производные $z$ по $x$ и $y$ через производные $w$ по $u$ и $v$. Продифференцируем систему уравнений замены по $x$, \[ \left\{ \begin{array}{c} u_{x}'=1\\ v_{x}'=-\frac{y}{x^{2}}\\ w_{x}'=w_{u}'u_{x}'+w_{v}'v_{x}'=-\frac{z}{x^{2}}+\frac{z_{x}'}{x} \end{array}\right. \] и выразим из неё $z_{x}'$: \[ -\frac{z}{x^{2}}+\frac{z_{x}'}{x}=w_{u}'-\frac{y}{x^{2}}w_{v}' \] \[ z_{x}'=xw_{u}'-\frac{y}{x}w_{v}'+\frac{z}{x} \] То, что полученное выражение пока содержит старые переменные $x$ и $y$ - это проблема более позднего этапа решения; сейчас главное - добиться того, чтобы производные в новых выражениях были только от новой функции по новым переменным. Аналогично, \[ \left\{ \begin{array}{c} u_{y}'=1\\ v_{y}'=\frac{1}{x}\\ w_{y}'=w_{u}'u_{y}'+w_{v}'v_{y}'=\frac{z_{y}'}{x} \end{array}\right. \] \[ \frac{z_{y}'}{x}=w_{u}'u_{y}'+w_{v}'v_{y}'=w_{u}'+\frac{1}{x}w_{v}' \] \[ z_{y}'=xw_{u}'+w_{v}' \] Теперь найдём вторые производные: \[ z_{xx}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(z_{x}'\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(xw_{u}'-\frac{y}{x}w_{v}'+\frac{z}{x}\right)= \] \[ =w_{u}'+x\frac{\partial}{\partial x}w_{u}'+\frac{y}{x^{2}}w_{v}'-\frac{y}{x}\frac{\partial}{\partial x}w_{v}'+\frac{1}{x}z_{x}'-\frac{z}{x^{2}}. \] Но \[ \frac{\partial}{\partial x}w_{u}'=w_{uu}''u_{x}'+w_{uv}''v_{x}'=w_{uu}''-\frac{y}{x^{2}}w_{uv}'' \] \[ \frac{\partial}{\partial x}w_{v}'=w_{vu}''u_{x}'+w_{vv}''v_{x}'=w_{vu}''-\frac{y}{x^{2}}w_{vv}'' \] Значит, \[ z_{xx}''=w_{u}'+x\left(w_{uu}''-\frac{y}{x^{2}}w_{uv}''\right)+\frac{y}{x^{2}}w_{v}'-\frac{y}{x}\left(w_{vu}''-\frac{y}{x^{2}}w_{vv}''\right)+\frac{1}{x}\left(xw_{u}'-\frac{y}{x}w_{v}'+\frac{z}{x}\right)-\frac{z}{x^{2}}= \] \[ =w_{u}'+xw_{uu}''-\frac{y}{x}w_{uv}''+\frac{y}{x^{2}}w_{v}'-\frac{y}{x}w_{vu}''+\frac{y^{2}}{x^{3}}w_{vv}''+w_{u}'-\frac{y}{x^{2}}w_{v}'+\frac{z}{x^{2}}-\frac{z}{x^{2}}= \] \[ =xw_{uu}''-2\frac{y}{x}w_{uv}''+\frac{y^{2}}{x^{3}}w_{vv}''+2w_{u}' \] Теперь $z_{yy}''$ \[ z_{yy}''=\frac{\partial}{\partial y}\left(xw_{u}'+w_{v}'\right)=x\frac{\partial}{\partial y}w_{u}'+\frac{\partial}{\partial y}w_{v}' \] \[ \frac{\partial}{\partial y}w_{u}'=w_{uu}''u_{y}'+w_{uv}''v_{y}'=w_{uu}''+\frac{1}{x}w_{uv}'' \] \[ \frac{\partial}{\partial y}w_{v}'=w_{vu}''u_{y}'+w_{vv}''v_{y}'=w_{vu}''+\frac{1}{x}w_{vv}'' \] \[ z_{yy}''=xw_{uu}''+w_{uv}''+w_{vu}''+\frac{1}{x}w_{vv}''=xw_{uu}''+2w_{uv}''+\frac{1}{x}w_{vv}'' \] И, наконец, $z_{xy}''$: \[ z_{xy}''=\frac{\partial}{\partial x}\left(xw_{u}'+w_{v}'\right)=w_{u}'+x\frac{\partial}{\partial x}w_{u}'+\frac{\partial}{\partial x}w_{v}'= \] \[ =w_{u}'+x\left(w_{uu}''-\frac{y}{x^{2}}w_{uv}''\right)+\left(w_{vu}''-\frac{y}{x^{2}}w_{vv}''\right)= \] \[ =xw_{uu}''+\left(1-\frac{y}{x}\right)w_{uv}''-\frac{y}{x^{2}}w_{vv}''+w_{u}' \] Подставим в уравнение \[ z_{xx}''-2z_{xy}''+z_{yy}''=0 \] найденные производные \[ \left(xw_{uu}''-2\frac{y}{x}w_{uv}''+\frac{y^{2}}{x^{3}}w_{vv}''+2w_{u}'\right)-2\left(xw_{uu}''+\left(1-\frac{y}{x}\right)w_{uv}''-\frac{y}{x^{2}}w_{vv}''+w_{u}'\right)+\left(xw_{uu}''+2w_{uv}''+\frac{1}{x}w_{vv}''\right)=0 \] и приведём подобные слагаемые \[ \left(xw_{uu}''-2xw_{uu}''+xw_{uu}''\right)+\left(2w_{uv}''-2\frac{y}{x}w_{uv}''-2\left(1-\frac{y}{x}\right)w_{uv}''\right)+\left(\frac{y^{2}}{x^{3}}w_{vv}''+2\frac{y}{x^{2}}w_{vv}''+\frac{1}{x}w_{vv}''\right)+\left(2w_{u}'-2w_{u}'\right)=0 \] \[ \left(\frac{y^{2}}{x^{3}}+2\frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{x}\right)w_{vv}''=0 \] \[ \frac{\left(x+y\right)^{2}}{x^{3}}w_{vv}''=0 \] Если $y\neq x$ и $x\neq0$ (что верно на всей числовой плоскости, кроме двух прямых), то \[ w_{vv}''=0. \]