Традиционно считается, что w - функция от новых независимых переменных u и v. Поэтому первым делом мы выразим производные z по x и y через производные w по u и v. Продифференцируем систему уравнений замены по x, {u′x=1v′x=−yx2w′x=w′uu′x+w′vv′x=−zx2+z′xx и выразим из неё z′x: −zx2+z′xx=w′u−yx2w′v z′x=xw′u−yxw′v+zx То, что полученное выражение пока содержит старые переменные x и y - это проблема более позднего этапа решения; сейчас главное - добиться того, чтобы производные в новых выражениях были только от новой функции по новым переменным. Аналогично, {u′y=1v′y=1xw′y=w′uu′y+w′vv′y=z′yx z′yx=w′uu′y+w′vv′y=w′u+1xw′v z′y=xw′u+w′v Теперь найдём вторые производные: z″xx=∂∂x(z′x)=∂∂x(xw′u−yxw′v+zx)= =w′u+x∂∂xw′u+yx2w′v−yx∂∂xw′v+1xz′x−zx2. Но ∂∂xw′u=w″uuu′x+w″uvv′x=w″uu−yx2w″uv ∂∂xw′v=w″vuu′x+w″vvv′x=w″vu−yx2w″vv Значит, z″xx=w′u+x(w″uu−yx2w″uv)+yx2w′v−yx(w″vu−yx2w″vv)+1x(xw′u−yxw′v+zx)−zx2= =w′u+xw″uu−yxw″uv+yx2w′v−yxw″vu+y2x3w″vv+w′u−yx2w′v+zx2−zx2= =xw″uu−2yxw″uv+y2x3w″vv+2w′u Теперь z″yy z″yy=∂∂y(xw′u+w′v)=x∂∂yw′u+∂∂yw′v ∂∂yw′u=w″uuu′y+w″uvv′y=w″uu+1xw″uv ∂∂yw′v=w″vuu′y+w″vvv′y=w″vu+1xw″vv z″yy=xw″uu+w″uv+w″vu+1xw″vv=xw″uu+2w″uv+1xw″vv И, наконец, z″xy: z″xy=∂∂x(xw′u+w′v)=w′u+x∂∂xw′u+∂∂xw′v= =w′u+x(w″uu−yx2w″uv)+(w″vu−yx2w″vv)= =xw″uu+(1−yx)w″uv−yx2w″vv+w′u Подставим в уравнение z″xx−2z″xy+z″yy=0 найденные производные (xw″uu−2yxw″uv+y2x3w″vv+2w′u)−2(xw″uu+(1−yx)w″uv−yx2w″vv+w′u)+(xw″uu+2w″uv+1xw″vv)=0 и приведём подобные слагаемые (xw″uu−2xw″uu+xw″uu)+(2w″uv−2yxw″uv−2(1−yx)w″uv)+(y2x3w″vv+2yx2w″vv+1xw″vv)+(2w′u−2w′u)=0 (y2x3+2yx2+1x)w″vv=0 (x+y)2x3w″vv=0 Если y≠x и x≠0 (что верно на всей числовой плоскости, кроме двух прямых), то w″vv=0.
21.04.2020
Комментариев нет »
No comments yet.
RSS feed for comments on this post.
Leave a comment
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.