Processing math: 100%

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

21.04.2020

Демидович, № 3514

Filed under: мат. ан. сем. 2,Решения — Shine @ 12:32 дп
В уравнении zxx2zxy+zyy=0 произвести замену {u=x+yv=yxw=zx

Традиционно считается, что w - функция от новых независимых переменных u и v. Поэтому первым делом мы выразим производные z по x и y через производные w по u и v. Продифференцируем систему уравнений замены по x, {ux=1vx=yx2wx=wuux+wvvx=zx2+zxx и выразим из неё zx: zx2+zxx=wuyx2wv zx=xwuyxwv+zx То, что полученное выражение пока содержит старые переменные x и y - это проблема более позднего этапа решения; сейчас главное - добиться того, чтобы производные в новых выражениях были только от новой функции по новым переменным. Аналогично, {uy=1vy=1xwy=wuuy+wvvy=zyx zyx=wuuy+wvvy=wu+1xwv zy=xwu+wv Теперь найдём вторые производные: zxx=x(zx)=x(xwuyxwv+zx)= =wu+xxwu+yx2wvyxxwv+1xzxzx2. Но xwu=wuuux+wuvvx=wuuyx2wuv xwv=wvuux+wvvvx=wvuyx2wvv Значит, zxx=wu+x(wuuyx2wuv)+yx2wvyx(wvuyx2wvv)+1x(xwuyxwv+zx)zx2= =wu+xwuuyxwuv+yx2wvyxwvu+y2x3wvv+wuyx2wv+zx2zx2= =xwuu2yxwuv+y2x3wvv+2wu Теперь zyy zyy=y(xwu+wv)=xywu+ywv ywu=wuuuy+wuvvy=wuu+1xwuv ywv=wvuuy+wvvvy=wvu+1xwvv zyy=xwuu+wuv+wvu+1xwvv=xwuu+2wuv+1xwvv И, наконец, zxy: zxy=x(xwu+wv)=wu+xxwu+xwv= =wu+x(wuuyx2wuv)+(wvuyx2wvv)= =xwuu+(1yx)wuvyx2wvv+wu Подставим в уравнение zxx2zxy+zyy=0 найденные производные (xwuu2yxwuv+y2x3wvv+2wu)2(xwuu+(1yx)wuvyx2wvv+wu)+(xwuu+2wuv+1xwvv)=0 и приведём подобные слагаемые (xwuu2xwuu+xwuu)+(2wuv2yxwuv2(1yx)wuv)+(y2x3wvv+2yx2wvv+1xwvv)+(2wu2wu)=0 (y2x3+2yx2+1x)wvv=0 (x+y)2x3wvv=0 Если yx и x0 (что верно на всей числовой плоскости, кроме двух прямых), то wvv=0.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников