Линии поля - это линии, касательные к которым коллинеарны вектору поля в каждой точке: \[ \vec{F}=k\vec{r}_{t}' \] Но в криволинейных координатах \[ \vec{F}=F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s}, \] \[ \vec{r}_{t}'=\vec{r}_{p}'p_{t}'+\vec{r}_{q}'q_{t}'+\vec{r}_{s}'s_{t}'= \vec{e}_{p}H_{p}p_{t}'+\vec{e}_{q}H_{q}q_{t}'+\vec{e}_{s}H_{s}s_{t}'. \] Значит, \[ F_{p}\vec{e}{}_{p}+F_{q}\vec{e}{}_{q}+F_{s}\vec{e}{}_{s}= k\left(\vec{e}_{p}H_{p}p_{t}'+\vec{e}_{q}H_{q}q_{t}'+\vec{e}_{s}H_{s}s_{t}'\right), \] т.е. \[ \left\{ \begin{array}{c} F_{p}=kH_{p}p_{t}',\\ F_{q}=kH_{q}q_{t}',\\ F_{s}=kH_{s}s_{t}'. \end{array}\right. \] Если знаменатели не равны нулю, то из этих трёх уравнеий можно получить \[ dt=\frac{kH_{p}dp}{F_{p}}=\frac{kH_{q}dq}{F_{q}}=\frac{kH_{s}ds}{F_{s}}, \] и, поделив на $k$: \[ \frac{H_{p}dp}{F_{p}}=\frac{H_{q}dq}{F_{q}}=\frac{H_{s}ds}{F_{s}}, \] что очень напоминает аналогичную формулу, полученную в декартовых координатах, но с коэффициентами Ламэ. Если же некоторые компоненты вектора $\vec{F}$ оказываются нулевыми - придётся отступить к системе выше, и приравнивать уже только то, что удастся приравнять.
Пример: №201 найти векторные линии поля в цилиндрических координатах \[ \vec{F}=\varphi\vec{e}_{r}+r\vec{e}_{\varphi}. \] Видно, что \[ F_{r}=\varphi,\quad F_{\varphi}=r,\quad F_{z}=0. \] В цилиндрических координатах \[ \left\{ \begin{array}{c} F_{r}=kH_{r}r_{t}',\\ F_{\varphi}=kH_{\varphi}\varphi_{t}',\\ F_{z}=kH_{z}z_{t}'. \end{array}\right. \] Отсюда \[ \left\{ \begin{array}{c} \varphi=kr_{t}',\\ r=kr\varphi_{t}',\\ 0=kz_{t}'. \end{array}\right. \] Из полученного можно сделать два вывода. Во-первых, что \[ z_{t}'=0 \] \[ dz=0 \] \[ z=C_{1}, \] а во-вторых, \[ dt=\frac{kdr}{\varphi}=\frac{kd\varphi}{r}, \] \[ \frac{dr}{\varphi}=\frac{d\varphi}{r}, \] \[ 2rdr=2\varphi d\varphi \] \[ r^{2}=\varphi^{2}+C_{2} \] Эти два уравнения и задают семейство линий поля: \[ \left\{ \begin{array}{l} r^{2}=\varphi^{2}+C_{2},\\ z=C_{1}. \end{array}\right. \] Геометрически они представляют собой семейство плоских горизонтальных спиралей, приближающихся к архимедовым с ростом $\varphi$.
Задание: решить №204, 206
Для нахождения потенциала поля не требуется никаких дополнительных теоретических сведений. Достаточно вспомнить, как в криволинейных коодинатах записываются применявшиеся ранее дифференциальные операции.
Пример: №211 Дано поле \[ \vec{F}=r\vec{e}_{r}+\frac{\varphi}{r}\vec{e}_{\varphi}+z\vec{e}_{z}. \] Убедиться, что оно потенциально и найти его потенциал.
В цилиндрических координатах (см. прошлое занятие) \[ \mathrm{rot}\,\vec{F}=\dfrac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & F_{r}\\ r\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & rF_{\varphi}\\ \vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & F_{z} \end{array}\right|=\dfrac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{r} & {\partial}/{\partial r} & r\\ r\vec{e}_{\varphi} & {\partial}/{\partial\varphi} & \varphi\\ \vec{e}_{z} & {\partial}/{\partial z} & z \end{array}\right|= \] \[ =\dfrac{1}{r}\left[\vec{e}_{r}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial\varphi} & \varphi\\ {\partial}/{\partial z} & z \end{array}\right|-r\vec{e}_{\varphi}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial r} & r\\ {\partial}/{\partial z} & z \end{array}\right|+\vec{e}_{z}\left|\begin{array}{cc} {\partial}/{\partial r} & r\\ {\partial}/{\partial\varphi} & \varphi \end{array}\right|\right]=\dfrac{1}{r}\left[\vec{e}_{r}\cdot0-r\vec{e}_{\varphi}\cdot0+\vec{e}_{z}\cdot0\right]=0, \] следовательно, поле потенциально и можно начинать искать такое $u$, что \[ \mathrm{grad}\,u=\vec{F} \] В цилиндрических координатах (см. позапрошлое занятие) \[ \mathrm{grad}\,u=\frac{u'_{r}}{H_{r}}\vec{e}_{r}+\frac{u'_{\varphi}}{H_{\varphi}}\vec{e}_{\varphi}+\frac{u'_{z}}{H_{z}}\vec{e}_{z}=u'_{r}\vec{e}_{r}+\frac{u'_{\varphi}}{r}\vec{e}_{\varphi}+u'_{z}\vec{e}_{z}. \] Отсюда \[ \left\{ \begin{array}{l} u'_{r}=r,\\ \frac{u'_{\varphi}}{r}=\frac{\varphi}{r},\\ u'_{z}=z. \end{array}\right. \] Далее стандартно \[ u=\frac{r^{2}}{2}+f\left(\varphi,z\right) \] \[ u_{\varphi}'=f_{\varphi}'\left(\varphi,z\right)=\varphi \] \[ f\left(\varphi,z\right)=\frac{\varphi^{2}}{2}+g\left(z\right) \] \[ u=\frac{r^{2}}{2}+\frac{\varphi^{2}}{2}+g\left(z\right) \] \[ u'_{z}=g'\left(z\right)=z \] \[ g\left(z\right)=\frac{z^{2}}{2}+C \] \[ u=\frac{r^{2}}{2}+\frac{\varphi^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{2}+C. \]
Задание: решить №210, 212, 213.
