Линии поля - это линии, касательные к которым коллинеарны вектору поля в каждой точке: →F=k→r′t Но в криволинейных координатах →F=Fp→ep+Fq→eq+Fs→es, →r′t=→r′pp′t+→r′qq′t+→r′ss′t=→epHpp′t+→eqHqq′t+→esHss′t. Значит, Fp→ep+Fq→eq+Fs→es=k(→epHpp′t+→eqHqq′t+→esHss′t), т.е. {Fp=kHpp′t,Fq=kHqq′t,Fs=kHss′t. Если знаменатели не равны нулю, то из этих трёх уравнеий можно получить dt=kHpdpFp=kHqdqFq=kHsdsFs, и, поделив на k: HpdpFp=HqdqFq=HsdsFs, что очень напоминает аналогичную формулу, полученную в декартовых координатах, но с коэффициентами Ламэ. Если же некоторые компоненты вектора →F оказываются нулевыми - придётся отступить к системе выше, и приравнивать уже только то, что удастся приравнять.
Пример: №201 найти векторные линии поля в цилиндрических координатах →F=φ→er+r→eφ. Видно, что Fr=φ,Fφ=r,Fz=0. В цилиндрических координатах {Fr=kHrr′t,Fφ=kHφφ′t,Fz=kHzz′t. Отсюда {φ=kr′t,r=krφ′t,0=kz′t. Из полученного можно сделать два вывода. Во-первых, что z′t=0 dz=0 z=C1, а во-вторых, dt=kdrφ=kdφr, drφ=dφr, 2rdr=2φdφ r2=φ2+C2 Эти два уравнения и задают семейство линий поля: {r2=φ2+C2,z=C1. Геометрически они представляют собой семейство плоских горизонтальных спиралей, приближающихся к архимедовым с ростом φ.
Задание: решить №204, 206
Для нахождения потенциала поля не требуется никаких дополнительных теоретических сведений. Достаточно вспомнить, как в криволинейных коодинатах записываются применявшиеся ранее дифференциальные операции.
Пример: №211 Дано поле →F=r→er+φr→eφ+z→ez. Убедиться, что оно потенциально и найти его потенциал.
В цилиндрических координатах (см. прошлое занятие) rot→F=1r|→er∂/∂rFrr→eφ∂/∂φrFφ→ez∂/∂zFz|=1r|→er∂/∂rrr→eφ∂/∂φφ→ez∂/∂zz|= =1r[→er|∂/∂φφ∂/∂zz|−r→eφ|∂/∂rr∂/∂zz|+→ez|∂/∂rr∂/∂φφ|]=1r[→er⋅0−r→eφ⋅0+→ez⋅0]=0, следовательно, поле потенциально и можно начинать искать такое u, что gradu=→F В цилиндрических координатах (см. позапрошлое занятие) gradu=u′rHr→er+u′φHφ→eφ+u′zHz→ez=u′r→er+u′φr→eφ+u′z→ez. Отсюда {u′r=r,u′φr=φr,u′z=z. Далее стандартно u=r22+f(φ,z) u′φ=f′φ(φ,z)=φ f(φ,z)=φ22+g(z) u=r22+φ22+g(z) u′z=g′(z)=z g(z)=z22+C u=r22+φ22+z22+C.
Задание: решить №210, 212, 213.