Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

21.04.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-822 в ср 22.04.2020, 10:10 и гр. 06-812 в пн 27.04.2020, 10:10 (Анчиков № 193, 199, 198)

Линии поля - это линии, касательные к которым коллинеарны вектору поля в каждой точке: F=krt Но в криволинейных координатах F=Fpep+Fqeq+Fses, rt=rppt+rqqt+rsst=epHppt+eqHqqt+esHsst. Значит, Fpep+Fqeq+Fses=k(epHppt+eqHqqt+esHsst), т.е. {Fp=kHppt,Fq=kHqqt,Fs=kHsst. Если знаменатели не равны нулю, то из этих трёх уравнеий можно получить dt=kHpdpFp=kHqdqFq=kHsdsFs, и, поделив на k: HpdpFp=HqdqFq=HsdsFs, что очень напоминает аналогичную формулу, полученную в декартовых координатах, но с коэффициентами Ламэ. Если же некоторые компоненты вектора F оказываются нулевыми - придётся отступить к системе выше, и приравнивать уже только то, что удастся приравнять.

Пример: №201 найти векторные линии поля в цилиндрических координатах F=φer+reφ. Видно, что Fr=φ,Fφ=r,Fz=0. В цилиндрических координатах {Fr=kHrrt,Fφ=kHφφt,Fz=kHzzt. Отсюда {φ=krt,r=krφt,0=kzt. Из полученного можно сделать два вывода. Во-первых, что zt=0 dz=0 z=C1, а во-вторых, dt=kdrφ=kdφr, drφ=dφr, 2rdr=2φdφ r2=φ2+C2 Эти два уравнения и задают семейство линий поля: {r2=φ2+C2,z=C1. Геометрически они представляют собой семейство плоских горизонтальных спиралей, приближающихся к архимедовым с ростом φ.

Задание: решить №204, 206

Для нахождения потенциала поля не требуется никаких дополнительных теоретических сведений. Достаточно вспомнить, как в криволинейных коодинатах записываются применявшиеся ранее дифференциальные операции.

Пример: №211 Дано поле F=rer+φreφ+zez. Убедиться, что оно потенциально и найти его потенциал.

В цилиндрических координатах (см. прошлое занятие) rotF=1r|er/rFrreφ/φrFφez/zFz|=1r|er/rrreφ/φφez/zz|= =1r[er|/φφ/zz|reφ|/rr/zz|+ez|/rr/φφ|]=1r[er0reφ0+ez0]=0, следовательно, поле потенциально и можно начинать искать такое u, что gradu=F В цилиндрических координатах (см. позапрошлое занятие) gradu=urHrer+uφHφeφ+uzHzez=urer+uφreφ+uzez. Отсюда {ur=r,uφr=φr,uz=z. Далее стандартно u=r22+f(φ,z) uφ=fφ(φ,z)=φ f(φ,z)=φ22+g(z) u=r22+φ22+g(z) uz=g(z)=z g(z)=z22+C u=r22+φ22+z22+C.

Задание: решить №210, 212, 213.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников