В прошлый раз разбирались функционалы, зависящие от производных выше первой. Функционалы, зависящие от многих функций описываются в том же §4, во второй половине теоретической части. Задачи на них начинаются с № 4.6, решения приведены в конце задачника. Решите № 4.6 и 4.7.
Продолжает тему экстремалей функционалов более сложного вида §7, где рассматриваются функционалы, зависящие от функций многих переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского постарайтесь получить сами, оно получается очень похоже на уравнение Эйлера-Пуассона, вывод которого показан в прошлом видео по теме. Решите № 7.1 и 7.4.
Дальше начнутся ситуации, в которых изменяться будет не функционал, а граничные условия. Первым делом рассмотрим функционалы с подвижными границами.
Рассмотрим функционал \[ J\left[y\right]=\intop_{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y,y'\right)dx, \] для которого нужно найти экстремум среди более широкого класса функций: таких, у которых граничные точки не заданы. Делается это пошагово: сначала находятся потенциальные экстремумы на множествах функций, графики которых соединяют всевозможные пары точек, потом находится экстремум уже среди них. Первый шаг делается уже привычным образом, поскольку задача сводится к базовой: нахождению экстремума среди функций с закреплёнными границами. Решается уравнение Эйлера (второго порядка): \[ F_{y}'-\frac{d}{dx}F_{y'}'=0\qquad\to\qquad y=y\left(x,C_{1},C_{2}\right), \] из него получается функция с двумя параметрами. Если график функции соединяет точки $\left(x_{1},y_{1}\right)$ и $\left(x_{2},y_{2}\right)$, то параметры могут быть найдены из уравнений \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} y\left(x_{1},C_{1},C_{2}\right)=y_{1}\\ y\left(x_{2},C_{1},C_{2}\right)=y_{2} \end{array}\right.\qquad\to\qquad\left\{ \begin{array}{c} C_{1}=C_{1}\left(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\right)\\ C_{2}=C_{2}\left(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\right) \end{array}\right.\label{Cdep} \end{equation} Теперь выберем из экстремалей (соединяющих разные точки) ту, на которой достигается экстремум. Для этого в исходный функционал подставим найденный общий вид экстремалей. Так как семейство экстремалей задаётся функцией от конечного числа параметров, функционал после этого шага превращается в функцию многих переменных, от которой нужно найти экстремум. Задача эта хорошо известна по второму семестру мат.анализа.
Итак, считая независимыми переменные $\left\{ x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\right\} $, от которых зависят $C_{1}$ и $C_{2}$, входящие в экстремаль и функционал ($x_{1}$ и $x_{2}$ входят в функционал ещё и непосредственно, в виде пределов интегрирования), найдём первый дифференциал от функционала: \[ \delta J\left[y\right]=\delta\intop_{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y,y'\right)dx=F\left(x_{2},y,y'\right)\delta x_{2}-F\left(x_{1},y,y'\right)\delta x_{1}+\intop_{x_{1}}^{x_{2}}\left[F_{y}'\left(x,y,y'\right)\delta y+F_{y'}'\left(x,y,y'\right)\delta y'\right]dx. \] Так как $x$ сам по себе не зависит от своих пределов, \begin{equation} \delta y=\delta y\left(x,C_{1},C_{2}\right)=y_{C_{1}}'\left(x,C_{1},C_{2}\right)\delta C_{1}+y_{C_{2}}'\left(x,C_{1},C_{2}\right)\delta C_{2},\label{dyis} \end{equation} содержит только два слагаемых. Дифференциал $y'$, в таком случае, \[ \delta\left(y'\right)=y_{xC_{1}}''\delta C_{1}+y_{xC_{2}}''\delta C_{2}=\frac{d}{dx}\left(y_{C_{1}}'\delta C_{1}+y_{C_{2}}'\delta C_{2}\right)=\left(\delta y\right)' \] будет после выноса производной по $x$ равен производной дифференциала. Выносить можно, т.к. от $x$, как такового, в скобках ничего не зависит.
Всё вышесказанное позволит, разбив в $\delta J\left[y\right]$ интеграл от суммы на интегралы от слагаемых, второй из них проинтегрировать по частям: \[ \delta J\left[y\right]=F\left(x_{2},y,y'\right)\delta x_{2}-F\left(x_{1},y,y'\right)\delta x_{1}+\intop_{x_{1}}^{x_{2}}F_{y}'\left(x,y,y'\right)\delta ydx+\left.F_{y'}'\left(x,y,y'\right)\delta y\right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\intop_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{d}{dx}F_{y'}'\left(x,y,y'\right)\delta ydx= \] после чего в обоих интегралах появится одинаковый множитель $\delta y$, который позволит объединить интегралы в один \[ =\left.F\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.F\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\delta y\right|_{x=x_{2}}-\left.F_{y'}'\delta y\right|_{x=x_{1}}+\intop_{x_{1}}^{x_{2}}\left(F_{y}'-\frac{d}{dx}F_{y'}'\right)\delta ydx= \] причём он обнулится в силу того, что $y(x)$ -- экстремаль и удовлетворяет уравнению Эйлера. \[ =\left.F\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.F\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\delta y\right|_{x=x_{2}}-\left.F_{y'}'\delta y\right|_{x=x_{1}}. \] Беря дифференциал от (\ref{Cdep}) получим \[ \left\{ \begin{array}{c} \left.y_{x}'\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.y_{C_{1}}'\right|_{x=x_{1}}\delta C_{1}+\left.y_{C_{2}}'\right|_{x=x_{1}}\delta C_{2}=\delta y_{1},\\ \left.y_{x}'\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}+\left.y_{C_{1}}'\right|_{x=x_{2}}\delta C_{1}+\left.y_{C_{2}}'\right|_{x=x_{2}}\delta C_{2}=\delta y_{2}, \end{array}\right. \] используя (\ref{dyis}), запишем \[ \left\{ \begin{array}{c} \left.y_{x}'\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.\delta y\right|_{x=x_{1}}=\delta y_{1}\\ \left.y_{x}'\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}+\left.\delta y\right|_{x=x_{2}}=\delta y_{2} \end{array}\right.\qquad\Longrightarrow\qquad\left\{ \begin{array}{c} \left.\delta y\right|_{x=x_{1}}=\delta y_{1}-\left.y_{x}'\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}\\ \left.\delta y\right|_{x=x_{2}}=\delta y_{2}-\left.y_{x}'\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}, \end{array}\right. \] Пользуясь вышенайденным, окончательно найдём \[ \delta J\left[y\right]=\left.F\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.F\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{2}}\left.\delta y\right|_{x=x_{2}}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{1}}\left.\delta y\right|_{x=x_{1}}= \] \[ =\left.F\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.F\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{2}}\left(\delta y_{2}-\left.y_{x}'\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}\right)-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{1}}\left(\delta y_{1}-\left.y_{x}'\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}\right)= \] \[ =\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{2}}\delta y_{2}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{1}}\delta y_{1}. \] Так как в точке экстремума первый дифференциал должен равняться нулю, \[ \left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{2}}\delta y_{2}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{1}}\delta y_{1}=0. \] Это доп.условие заменяет граничные условия, позволяя из семейства экстремалей выделить одну нужную. Если начальная точка может смещаться не произвольно, а вдоль графика функции $y=\varphi\left(x\right)$, а конечная - вдоль $y=\psi\left(x\right)$, причём начальная и конечная точки смещаются независимо, то \[ y_{1}=\varphi\left(x_{1}\right),\qquad y_{2}=\psi\left(x_{2}\right), \] \[ \delta y_{1}=\varphi'\left(x_{1}\right)\delta x_{1},\qquad\delta y_{2}=\psi'\left(x_{2}\right)\delta x_{2}, \] \[ \left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.\left(F-F_{y'}'y'\right)\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}+\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{2}}\psi'\left(x_{2}\right)\delta x_{2}-\left.F_{y'}'\right|_{x=x_{1}}\varphi'\left(x_{1}\right)\delta x_{1}=0, \] \[ \left.\left(F-F_{y'}'y'+F_{y'}'\psi'\right)\right|_{x=x_{2}}\delta x_{2}-\left.\left(F-F_{y'}'y'+F_{y'}'\varphi'\right)\right|_{x=x_{1}}\delta x_{1}=0, \] а так как произвольны $\delta x_{1}$ и $\delta x_{2}$, \[ \left\{ \begin{array}{c} \left.\left[F+F_{y'}'\left(\varphi'-y'\right)\right]\right|_{x=x_{1}}=0,\\ \left.\left[F+F_{y'}'\left(\psi'-y'\right)\right]\right|_{x=x_{2}}=0, \end{array}\right. \] что и называют условием трансверсальности.
Решите № 5.2 и 5.4.
