Processing math: 100%

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

11.05.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-912 в 8:30 и гр. 06-922 в 11:50 в пн. 11.05.2020 (Демидович № 2661, 2667, 2673.1)

По признаку Раабе сходится ряд, слагаемые которого положительны и limnn(anan+11)=p>1 (бесконечность тоже годится). Если p<1, ряд расходится. Связан признак Раабе с обобщённо-гармоническими рядами вида n=11np, которые сходились при тех же условиях на степень p. Предел из признака Раабе как раз «добывает» эту степень из обобщённо-гармонических и сравнимых с ними рядов: limnn(1np1(n+1)p1)=limnn((n+1)pnp1)=limn(1+1n)p1(1+1n)1=p по второму следствию второго замечательного предела.

Как при помощи признака Раабе решается №2600, можно посмотреть в этом посте.

Задание: решите № 2598, 2599 и 2601 (они проще 2600).

Ранее мы рассматривали ряды, состоящие из положительных слагаемых. Именно к таким относятся признаки сравнения, Даламбера, Коши, Раабе.

Если все слагаемые отрицательные – всё решается выносом минуса из суммы и задача сводится к предыдущей. Интеерсное начинается тогда, когда знак у слагаемых начинает меняться.

По имеющемуся знакопеременному ряду составим новый ряд, состоящий из модулей его слагаемых n=1ann=1|an|. Если последний сходится (а он уже состоит из положительных слагаемых и к нему можно применять вышепройденные признаки), то сходится и исходный ряд без модулей, причём говорят, что он сходится абсолютно. Если исходный ряд сходится, а ряд из его модулей – нет, то он называется условно сходящимся. Таким образом, на вопрос, сходится ли ряд, можно дать три ответа:

  1. Сходится абсолютно
  2. Сходится условно
  3. Не сходится никак.
Например, ряд (№2659) n=1(1)n+12n12n1,an=(1)n+12n12n1 имеет модули слагаемых вида |an|=2n12n1. limn|an+1||an|=limn2n+12n2n12n1=limn2n12n2n+12n1=12<1, и по признаку Даламбера ряд из модулей сходится, а значит исходный - сходится абсолютно. А вот ряд (№2661) n=1(1)n+1n после «надевания модулей» превращается в гармонический, который расходится, а значит, абсолютной сходимостью не обладает.

Для сходимости знакопеременных рядов (которая оказывается условной, если нет абсолютной) есть, кроме критерия Коши, отдельные признаки: Лейбница, Абеля и Дирихле. В чём они состоят – можно прочитать в Демидовиче, в параграфе 2 отдела V. Кроме того, доказать сходимость знакопеременного ряда можно и по определению (например, вот тут так решается №2666). Другие примеры решения задач последуют здесь.

В №2661, рассматривать который мы начали выше и для которого установили отсутствие абсолютной сходимости, условную сходимость можно установить по признаку Лейбница: знакочередующимся он является (т.е. каждое следующее слагаемое имеет другой знак); модуль его слагаемых имеет вид 1n, а про него мы можем сказать, что он монотонно убывает и стремится к нулю. Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Отмечу, что если по очередному признаку для сходимости ряда от слагаемых ряда требуется некоторое свойство, а это свойство начинает выполняться не с первого слагаемого, а начиная с некоторого N – ничего страшного, ряд всё равно сходится. Конечное множество слагаемых до N можно сложить всегда, а последующее бесконечное множество слагаемых образует сходящийся ряд.

№2667. Разобьём слагаемые ряда на множители: n=1ln100nnsinnπ4=n=1anbn,an=ln100nn,bn=sinnπ4. Сначала рассмотрим функцию f(x)=ln100xx. Её производная f(x)=100ln99xx2ln100xx2=ln99xx2(100lnx), f(x)<0 при lnx>100, а значит, f(x) убывает при x>e100. В пределе ниже заменим x=ey limxf(x)=limxln100xx=limyy100ey=0 по доказанному в первом семестре (см №60). Так как an=f(n), an+1<an при n>e100 и an стремится к нулю при n. Теперь рассмотрим bn. Сумма первых восьми элементов этой последовательности будет равна нулю: 8n=1bn=4n=1(bn+bn+4)=8n=1(sinnπ4+sin(n+4)π4)=8n=1(sinnπ4+sin(nπ4+π))=0. Аналогично, сумма любых восьми подряд идущих элементов будет равна нулю: 8n=1bn+k=4n=1(bn+k+bn+k+4)=4n=1(sin(n+k)π4+sin(n+k+4)π4)=4n=1(sin(n+k)π4sin(n+k)π4)=0. Тогда частичная сумма элементов в количестве, кратном восьми, будет нулевая: 8mn=1bn=mk=18n=1bn+8(k1)=0. Частичная сумма элементов в произвольном количестве Nn=1bn=8m+kn=1bn=8mn=1bn+kn=1bn=kn=1bn, где k=0..7. |Nn=1bn|=|kn=1bn|kn=1|bn|8n=1|bn|=8n=1|sinnπ4|8. Эта оценка очень грубая, на самом деле, сумма bn сильно меньше, но главное мы получили: она ограничена. Так как an монотонно убывает и стремится к нулю, а bn образует ограниченные частичные суммы, то ряд, состоящий из их произведений, сходится по признаку Дирихле.

№2673.1 n=21ln2ncosπn2n+1 n2n+1=((n+1)1)2n+1=(n+1)22(n+1)+1n+1=(n+1)2+1n+1 cosπn2n+1=cos[π((n+1)2+1n+1)]=cos[π(n+1)2π+πn+1]=(1)n+1cosπn+1 1ln2ncosπn2n+1=(1)n+1ln2ncosπn+1 Ряд n=2(1)n+1ln2n сходится по признаку Лейбница, а cosπn+1 монотонно возрастает и меньше единицы (к которой стремится снизу), значит, исходный ряд сходится по признаку Абеля.

Задание: выполнить №2669, 2671, 2673.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников