По признаку Раабе сходится ряд, слагаемые которого положительны и limn→∞n(anan+1−1)=p>1 (бесконечность тоже годится). Если p<1, ряд расходится. Связан признак Раабе с обобщённо-гармоническими рядами вида ∞∑n=11np, которые сходились при тех же условиях на степень p. Предел из признака Раабе как раз «добывает» эту степень из обобщённо-гармонических и сравнимых с ними рядов: limn→∞n(1np1(n+1)p−1)=limn→∞n((n+1)pnp−1)=limn→∞(1+1n)p−1(1+1n)−1=p по второму следствию второго замечательного предела.
Как при помощи признака Раабе решается №2600, можно посмотреть в этом посте.
Задание: решите № 2598, 2599 и 2601 (они проще 2600).
Ранее мы рассматривали ряды, состоящие из положительных слагаемых. Именно к таким относятся признаки сравнения, Даламбера, Коши, Раабе.
Если все слагаемые отрицательные – всё решается выносом минуса из суммы и задача сводится к предыдущей. Интеерсное начинается тогда, когда знак у слагаемых начинает меняться.
По имеющемуся знакопеременному ряду составим новый ряд, состоящий из модулей его слагаемых ∞∑n=1an→∞∑n=1|an|. Если последний сходится (а он уже состоит из положительных слагаемых и к нему можно применять вышепройденные признаки), то сходится и исходный ряд без модулей, причём говорят, что он сходится абсолютно. Если исходный ряд сходится, а ряд из его модулей – нет, то он называется условно сходящимся. Таким образом, на вопрос, сходится ли ряд, можно дать три ответа:
- Сходится абсолютно
- Сходится условно
- Не сходится никак.
Для сходимости знакопеременных рядов (которая оказывается условной, если нет абсолютной) есть, кроме критерия Коши, отдельные признаки: Лейбница, Абеля и Дирихле. В чём они состоят – можно прочитать в Демидовиче, в параграфе 2 отдела V. Кроме того, доказать сходимость знакопеременного ряда можно и по определению (например, вот тут так решается №2666). Другие примеры решения задач последуют здесь.
В №2661, рассматривать который мы начали выше и для которого установили отсутствие абсолютной сходимости, условную сходимость можно установить по признаку Лейбница: знакочередующимся он является (т.е. каждое следующее слагаемое имеет другой знак); модуль его слагаемых имеет вид 1n, а про него мы можем сказать, что он монотонно убывает и стремится к нулю. Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Отмечу, что если по очередному признаку для сходимости ряда от слагаемых ряда требуется некоторое свойство, а это свойство начинает выполняться не с первого слагаемого, а начиная с некоторого N – ничего страшного, ряд всё равно сходится. Конечное множество слагаемых до N можно сложить всегда, а последующее бесконечное множество слагаемых образует сходящийся ряд.
№2667. Разобьём слагаемые ряда на множители: ∞∑n=1ln100nnsinnπ4=∞∑n=1anbn,an=ln100nn,bn=sinnπ4. Сначала рассмотрим функцию f(x)=ln100xx. Её производная f′(x)=100ln99xx2−ln100xx2=ln99xx2(100−lnx), f′(x)<0 при lnx>100, а значит, f(x) убывает при x>e100. В пределе ниже заменим x=ey limx→∞f(x)=limx→∞ln100xx=limy→∞y100ey=0 по доказанному в первом семестре (см №60). Так как an=f(n), an+1<an при n>e100 и an стремится к нулю при n→∞. Теперь рассмотрим bn. Сумма первых восьми элементов этой последовательности будет равна нулю: 8∑n=1bn=4∑n=1(bn+bn+4)=8∑n=1(sinnπ4+sin(n+4)π4)=8∑n=1(sinnπ4+sin(nπ4+π))=0. Аналогично, сумма любых восьми подряд идущих элементов будет равна нулю: 8∑n=1bn+k=4∑n=1(bn+k+bn+k+4)=4∑n=1(sin(n+k)π4+sin(n+k+4)π4)=4∑n=1(sin(n+k)π4−sin(n+k)π4)=0. Тогда частичная сумма элементов в количестве, кратном восьми, будет нулевая: 8m∑n=1bn=m∑k=18∑n=1bn+8(k−1)=0. Частичная сумма элементов в произвольном количестве N∑n=1bn=8m+k∑n=1bn=8m∑n=1bn+k∑n=1bn=k∑n=1bn, где k=0..7. |N∑n=1bn|=|k∑n=1bn|⩽k∑n=1|bn|⩽8∑n=1|bn|=8∑n=1|sinnπ4|⩽8. Эта оценка очень грубая, на самом деле, сумма bn сильно меньше, но главное мы получили: она ограничена. Так как an монотонно убывает и стремится к нулю, а bn образует ограниченные частичные суммы, то ряд, состоящий из их произведений, сходится по признаку Дирихле.
№2673.1 ∞∑n=21ln2ncosπn2n+1 n2n+1=((n+1)−1)2n+1=(n+1)2−2(n+1)+1n+1=(n+1)−2+1n+1 cosπn2n+1=cos[π((n+1)−2+1n+1)]=cos[π(n+1)−2π+πn+1]=(−1)n+1cosπn+1 1ln2ncosπn2n+1=(−1)n+1ln2ncosπn+1 Ряд ∞∑n=2(−1)n+1ln2n сходится по признаку Лейбница, а cosπn+1 монотонно возрастает и меньше единицы (к которой стремится снизу), значит, исходный ряд сходится по признаку Абеля.
Задание: выполнить №2669, 2671, 2673.