Слагаемые ряда могут зависеть, кроме номера, от других переменных. В этом случае ряд называется функциональным. От значения параметров в этом случае начинает зависеть как сам факт сходимости, так и, если существует, величина суммы ряда. Множество значений сободных переменных (наборов значений, если свободных переменных больше одной), при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Пример: №2719 Определить область сходимости ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot\left(2n-1\right)}{2\cdot4\cdot\dots\cdot\left(2n\right)}\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)^{n}. \] У этого ряда \[ a_{n}=\frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot\left(2n-1\right)}{2\cdot4\cdot\dots\cdot\left(2n\right)}\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)^{n},\quad a_{n+1}=\frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot\left(2n-1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{2\cdot4\cdot\dots\cdot\left(2n\right)\cdot\left(2n+2\right)}\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)^{n+1},\quad\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2n+1}{2n+2}\frac{2x}{1+x^{2}}. \] Найдём область абсолютной сходимости этого ряда, для чего рассмотрим ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|. \] Для сходимости по Даламберу требуется, чтобы \[ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2n+1}{2n+2}\frac{2x}{1+x^{2}}\right|=\left|\frac{2x}{1+x^{2}}\right| < 1, \] \[ 2\left|x\right| < 1+x^{2} \] \[ 0 < 1-2\left|x\right|+\left|x\right|^{2} \] \[ \left(\left|x\right|-1\right)^{2} > 0 \] что выполняется, если только $x\neq\pm1$.
При $x=+1$ признак Даламбера не даёт ничего, но так как \[ a_{n}=\frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot\left(2n-1\right)}{2\cdot4\cdot\dots\cdot\left(2n\right)} > 0, \] можно воспользоваться признаком Раабе \[ \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{2n+2}{2n+1},\qquad n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right)=\frac{n}{2n+1}, \] \[ \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2} < 1, \] значит, ряд расходится.
При $x=-1$ ряд становится знакопеременным. Исследование на абсолютную сходимость по признаку Раабе по аналогии с вышерассмотренным случаем приводит к тому, что абсолютной сходимости при $x=-1$ нет. Для исследования на условную - представим $a_{n}$ в виде \[ a_{n}=\left(-1\right)^{n}\frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot\left(2n-1\right)}{2\cdot4\cdot\dots\cdot\left(2n\right)}=\left(-1\right)^{n}b_{n},\quad b_{n}=\frac{1\cdot3\cdot\dots\cdot\left(2n-1\right)}{2\cdot4\cdot\dots\cdot\left(2n\right)}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}, \] причём \[ \frac{b_{n}}{b_{n-1}}=\frac{2n-1}{2n} < 1,\quad b_{n} < b_{n-1}, \] то есть $b_{n}$ убывает. Осталось доказать, что оно стремится к нулю - и мы получим условную сходимость по Лейбницу.
Неравенство Бернулли (см. №6 из Демидовича) позволяет утверждать, что \[ \frac{1}{b_{n}}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k-1}=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right)\geqslant1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}, \] но так как ряд \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1} \] по 2-му признаку сравнения расходится одновременно с гармоническим, то \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}=\infty\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}}=\infty\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}b_{n}=0, \] что и требовалось. Итак, ряд сходится абсолютно при $x\neq\pm1$ (по признаку Даламбера), расходится при $x=1$ (по признаку Раабе) и сходится условно при $x=-1$ (по признаку Лейбница).
Задание: №2716 - 2718.
Помимо обычной сходимости для функциональных рядов и последовательностей введена ещё равномерная сходимость. Рассмотрим сначала равномерную сходимость последовательностей. Предел функциональной последовательности зависит от значения параметров, а значит, представляет собой их функцию. Например, \[ \lim_{n\to\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right), \] что означает, что в любой точке $x$ области сходимости для $\forall\varepsilon > 0$ найдётся такое $N\in\mathbb{N}$, что при $n > N$ \begin{equation} \left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| < \varepsilon.\label{sho} \end{equation} Но начиная с какого $N$ начнёт выыполняться это свойство для каждого отдельного $x$ - вопрос открытый, для каждого $x$ этот порог свой. Функциональная последовательность называется равномерно стремящейся к функции $f\left(x\right)$ на области $X$, если на этой области множество чисел $N$ для каждого выбранного $\varepsilon$ ограничено сверху; иначе говоря для $\forall\varepsilon > 0$ существует такое ${\cal N}$, что при $\forall n > {\cal N}$ и при $\forall x\in X$ выполняется неравенство (\ref{sho}).
Определение равномерной сходимости отличается от определения просто сходимости на короткую добавку: «и при $\forall x\in X$», но она оказывается очень существенной. Разница уже в том, что если обычная сходимость определяется в точках, а на областях - уже через точки, то равномерная определяется сразу на областях. Также равномерно сходящиеся последовательности обладают различными ценными свойствами, которых нет у просто сходящихся. Но об этих свойствах речь пойдёт позже, пока будем лишь устанавливать факт равномерной сходимости данной последовательности (а позже и ряда) на данной области.
Примеры: №2747 Исследовать на равномерную сходимость последовательность \[ f_{n}\left(x\right)=x^{n}-x^{n+1} \] на промежутке \[ x\in\left[0;1\right]. \] Очевидно, что на таком промежутке \[ \lim_{n\to\infty}f_{n}\left(x\right)=\lim_{n\to\infty}x^{n}-\lim_{n\to\infty}x^{n+1}=0, \] т.е. функция стремится к нулю. Но равномерно ли она на нём туда стремится - сейчас выясним.
Найдём область значений функции $f_{n}\left(x\right)$. Для этого получим производную \[ f_{n}'\left(x\right)=nx^{n-1}-\left(n+1\right)x^{n}=x^{n-1}\left[n-\left(n+1\right)x\right]. \] $f_{n}'\left(x_{0}\right)=0$ при \[ x_{0}=\frac{n}{n+1}\in\left[0;1\right], \] других стационарных точек во внутренности нашего промежутка нет. $f_{n}'\left(x\right) > 0$ при $x < x_{0}$ и $f_{n}'\left(x\right) < 0$ при $x > x_{0}$, значит, в точке $x_{0}$ достигается максимум. \[ f_{n}\left(x_{0}\right)=x_{0}^{n}-x_{0}^{n+1}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\left(1-\frac{n}{n+1}\right)=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}\frac{1}{n+1}\geqslant f\left(x\right),\quad x\in\left[0;1\right]. \] На границах же отрезка $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$, значит, \[ 0\leqslant f\left(x\right)\leqslant f_{n}\left(x_{0}\right),\quad f\left(x\right)=\left|f\left(x\right)\right|. \] Однако \[ \lim_{n\to\infty}f_{n}\left(x_{0}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}\frac{1}{n+1}=\frac{1}{e}\cdot0=0. \] По определению предела это означает, что для $\forall\varepsilon > 0$ $\exists N\in\mathbb{N}$, что при $n > N$ \[ \left|f_{n}\left(x_{0}\right)-0\right| < \varepsilon, \] но \[ \left|f_{n}\left(x_{0}\right)-0\right|=\left|f_{n}\left(x_{0}\right)\right|=f_{n}\left(x_{0}\right) > f\left(x\right)=\left|f\left(x\right)\right|, \] а значит, при $n > N$ для $\forall x\in\left[0;1\right]$ (независимо от выбора $x$) \[ \left|f\left(x\right)\right| < f_{n}\left(x_{0}\right) < \varepsilon, \] что по определению и означает, что $f_{n}\left(x\right)$ равномерно стремится к нулю на отрезке от нуля до единицы.
№2748 Исследовать на равномерную сходимость \[ f_{n}\left(x\right)=x^{n}-x^{2n} \] на том же промежутке \[ x\in\left[0;1\right]. \] Опять же, \[ \lim_{n\to\infty}f_{n}\left(x\right)=0. \] Но на этот раз точка максимума \[ x_{0}=\frac{1}{\sqrt[n]{2}},\quad f'_{n}\left(x_{0}\right)=0,\quad f_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{4}. \] Значит, можно подобрать такое $\varepsilon=\frac{1}{8} > 0$, что для $\forall n$ $\exists x_{0}$, при котором $f_{n}\left(x_{0}\right)=\left|f_{n}\left(x_{0}\right)-0\right|=\frac{1}{4} > \frac{1}{8}=\varepsilon$, т.е. равномерной сходимости по определению нет.
Задание: №2746, 2749.
Равномерная сходимость рядов есть равномерная сходимость последовательностей их частичных сумм. Для её доказательства используются критерий Коши и признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле (Б.П. Демидович, отдел V § 4). Чаще всего используется критерий Вейерштрасса, который и применяется в №2774.
Пример: №2774 п. в) \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{1+n^{4}x^{2}},\qquad0\leqslant x < \infty. \] Для этого ряда слагаемое \[ f_{n}\left(x\right)=\frac{x}{1+n^{4}x^{2}} > 0. \] Подберём мажорирующий ряд. Найдя производную \[ f_{n}'\left(x\right)=\frac{1}{1+n^{4}x^{2}}-\frac{x}{\left(1+n^{4}x^{2}\right)^{2}}2n^{4}x=\frac{1-n^{4}x^{2}}{\left(1+n^{4}x^{2}\right)^{2}}, \] обнаружим единственный при $x > 0$ экстремум, а именно максимум, при $x_{0}=\frac{1}{n^{2}}$ (понятные всякому, успешно окончившему 1-й семестр, подробности доказательства последнего опущу). \[ f_{n}\left(x\right)=\left|f_{n}\left(x\right)\right| < f_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{\frac{1}{n^{2}}}{1+n^{4}\frac{1}{n^{4}}}=\frac{1}{2n^{2}}, \] значит, сходящийся числовой (не зависящий от $x$) ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{2}} \] при $x\in\left[0;\infty\right)$ мажорирует рассматриваемый функциональный, что означает, что функциональный ряд на промежутке $\left[0;\infty\right)$ сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.
Задание: №2774 п. а, б, г.
