Итак, мы на прошлом занятии раскладывали функцию f(x) в ряд Фурье f(x)=∞∑n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl), где an=1ll∫−lf(x)cosπnxldx,a0=12ll∫−lf(x)dx,bn=1ll∫−lf(x)sinπnxldx.
Пусть теперь задана функция g(x) при x∈[0,2l]. На х действуют неравенства 0⩽x⩽2l, которые мы можем представить в виде −l⩽x−l⩽l. Введём новую переменную y=x−l, и она будет принадлежать симметричному отрезку: y∈[−l,l] . Тогда функция g(x)=g(x−l+l)=g(y+l) будет раскладываться в ряд Фурье: g(x)=g(y+l)=∞∑n=0(αncosπnyl+βnsinπnyl), а его коэффициенты мы сможем вычислить так: αn=1ll∫−lg(y+l)cosπnyldy=1l2l∫0g(x)cosπn(x−l)ldx=1l2l∫0g(x)cos(πnxl−πn)dx=(−1)nl2l∫0g(x)cosπnxldx, α0=12ll∫−lg(y+l)dy=12l2l∫0g(x)dx, βn=1ll∫−lg(y+l)sinπnyldy=(−1)nl2l∫0g(x)sinπnxldx. Заменим обратно переменные внутри ряда y=x−l: g(x)=∞∑n=0(αncosπnyl+βnsinπnyl)=∞∑n=0(αncosπn(x−l)l+βnsinπn(x−l)l)=∞∑n=0(−1)n(αncosπnxl+βnsinπnxl). Введём обозначения: an=(−1)nαn(n⩾0),bn=(−1)nβn; an=1l2l∫0g(x)cosπnxldx,a0=12l2l∫0g(x)dx,bn=1l2l∫0g(x)sinπnxldx. В этих обозначениях g(x)=∞∑n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl). Так можно разложить функцию в ряд Фурье на отрезке [0,2l].
Пример: №2939 Разложить в ряд Фурье в интервале x∈[0,2l] функцию f(x)={A,0<x<l,0,l<x<2l. f(x)=∞∑n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl), где an=1l2l∫0f(x)cosπnxldx=1ll∫0Acosπnxldx+1l2l∫l0⋅cosπnxldx=All∫0cosπnxldx= =Allπnsinπnxl|l0=Aπnsinπnxl|l0=0, a0=12l2l∫0f(x)dx=12ll∫0Adx+12l2l∫l0⋅dx=A2ll+0=A2, bn=1l2l∫0f(x)sinπnxldx=1ll∫0Asinπnxldx+1l2l∫l0⋅sinπnxldx=All∫0sinπnxldx= =Al−lπncosπnxl|l0=−Aπn[(−1)n−1]=Aπn[1−(−1)n]. Подставляем коэффициенты в ряд: f(x)=∞∑n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl)=a0+∞∑n=1bnsinπnxl=A2+∞∑n=1Aπn[1−(−1)n]sinπnxl= Сгруппируем попарно нечётные и чётные слагаемые, [1−(−1)2k]=0: =A2+∞∑k=1{Aπ(2k−1)[1−(−1)(2k−1)]sinπ(2k−1)xl+Aπ2k[1−(−1)2k]sinπ2kxl}=A2+∞∑k=12Aπ(2k−1)sinπ(2k−1)xl. Окончательно, f(x)=A2+∞∑k=12Aπ(2k−1)sinπ(2k−1)xl.
Задание: решите № 2941, 2961*.