Итак, мы на прошлом занятии раскладывали функцию $f\left(x\right)$ в ряд Фурье \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right), \] где \[ a_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx,\qquad a_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx. \]
Пусть теперь задана функция $g\left(x\right)$ при $x\in\left[0,2l\right]$. На х действуют неравенства $0\leqslant x\leqslant2l$, которые мы можем представить в виде $-l\leqslant x-l\leqslant l$. Введём новую переменную $y=x-l$, и она будет принадлежать симметричному отрезку: $y\in\left[-l,l\right]$ . Тогда функция \[ g\left(x\right)=g\left(x-l+l\right)=g\left(y+l\right) \] будет раскладываться в ряд Фурье: \[ g\left(x\right)=g\left(y+l\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha_{n}\cos\frac{\pi ny}{l}+\beta_{n}\sin\frac{\pi ny}{l}\right), \] а его коэффициенты мы сможем вычислить так: \[ \alpha_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}g\left(y+l\right)\cos\frac{\pi ny}{l}dy=\frac{1}{l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)\cos\frac{\pi n\left(x-l\right)}{l}dx=\frac{1}{l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)\cos\left(\frac{\pi nx}{l}-\pi n\right)dx=\frac{\left(-1\right)^{n}}{l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx, \] \[ \alpha_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{-l}^{l}g\left(y+l\right)dy=\frac{1}{2l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)dx, \] \[ \beta_{n}=\frac{1}{l}\intop_{-l}^{l}g\left(y+l\right)\sin\frac{\pi ny}{l}dy=\frac{\left(-1\right)^{n}}{l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx. \] Заменим обратно переменные внутри ряда $y=x-l$: \[ g\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha_{n}\cos\frac{\pi ny}{l}+\beta_{n}\sin\frac{\pi ny}{l}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha_{n}\cos\frac{\pi n\left(x-l\right)}{l}+\beta_{n}\sin\frac{\pi n\left(x-l\right)}{l}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\left(\alpha_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+\beta_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right). \] Введём обозначения: \[ a_{n}=\left(-1\right)^{n}\alpha_{n}\;(n\geqslant0),\qquad b_{n}=\left(-1\right)^{n}\beta_{n}; \] \[ a_{n}=\frac{1}{l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx,\quad a_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)dx,\quad b_{n}=\frac{1}{l}\intop_{0}^{2l}g\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx. \] В этих обозначениях \[ g\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right). \] Так можно разложить функцию в ряд Фурье на отрезке $\left[0,2l\right]$.
Пример: №2939 Разложить в ряд Фурье в интервале $x\in\left[0,2l\right]$ функцию \[ f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{cc} A, & 0 < x < l,\\ 0, & l < x < 2l. \end{array}\right. \] \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right), \] где \[ a_{n}=\frac{1}{l}\intop_{0}^{2l}f\left(x\right)\cos\frac{\pi nx}{l}dx=\frac{1}{l}\intop_{0}^{l}A\cos\frac{\pi nx}{l}dx+\frac{1}{l}\intop_{l}^{2l}0\cdot\cos\frac{\pi nx}{l}dx=\frac{A}{l}\intop_{0}^{l}\cos\frac{\pi nx}{l}dx= \] \[ =\frac{A}{l}\left.\frac{l}{\pi n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right|_{0}^{l}=\frac{A}{\pi n}\left.\sin\frac{\pi nx}{l}\right|_{0}^{l}=0, \] \[ a_{0}=\frac{1}{2l}\intop_{0}^{2l}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2l}\intop_{0}^{l}Adx+\frac{1}{2l}\intop_{l}^{2l}0\cdot dx=\frac{A}{2l}l+0=\frac{A}{2}, \] \[ b_{n}=\frac{1}{l}\intop_{0}^{2l}f\left(x\right)\sin\frac{\pi nx}{l}dx=\frac{1}{l}\intop_{0}^{l}A\sin\frac{\pi nx}{l}dx+\frac{1}{l}\intop_{l}^{2l}0\cdot\sin\frac{\pi nx}{l}dx=\frac{A}{l}\intop_{0}^{l}\sin\frac{\pi nx}{l}dx= \] \[ =\frac{A}{l}\left.-\frac{l}{\pi n}\cos\frac{\pi nx}{l}\right|_{0}^{l}=-\frac{A}{\pi n}\left[\left(-1\right)^{n}-1\right]=\frac{A}{\pi n}\left[1-\left(-1\right)^{n}\right]. \] Подставляем коэффициенты в ряд: \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{\pi nx}{l}+b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}\right)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin\frac{\pi nx}{l}=\frac{A}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{\pi n}\left[1-\left(-1\right)^{n}\right]\sin\frac{\pi nx}{l}= \] Сгруппируем попарно нечётные и чётные слагаемые, $\left[1-\left(-1\right)^{2k}\right]=0$: \[ =\frac{A}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left\{ \frac{A}{\pi\left(2k-1\right)}\left[1-\left(-1\right)^{\left(2k-1\right)}\right]\sin\frac{\pi\left(2k-1\right)x}{l}+\frac{A}{\pi2k}\left[1-\left(-1\right)^{2k}\right]\sin\frac{\pi2kx}{l}\right\} =\frac{A}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2A}{\pi\left(2k-1\right)}\sin\frac{\pi\left(2k-1\right)x}{l}. \] Окончательно, \[ f\left(x\right)=\frac{A}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2A}{\pi\left(2k-1\right)}\sin\frac{\pi\left(2k-1\right)x}{l}. \]
Задание: решите № 2941, 2961*.
