Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

24.05.2020

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-922 в 11:50 в вт. 26.05.2020 и гр. 06-912 в 8:30 в пн. 1.06.2020 (Демидович № 2939)

Итак, мы на прошлом занятии раскладывали функцию f(x) в ряд Фурье f(x)=n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl), где an=1lllf(x)cosπnxldx,a0=12lllf(x)dx,bn=1lllf(x)sinπnxldx.

Пусть теперь задана функция g(x) при x[0,2l]. На х действуют неравенства 0x2l, которые мы можем представить в виде lxll. Введём новую переменную y=xl, и она будет принадлежать симметричному отрезку: y[l,l] . Тогда функция g(x)=g(xl+l)=g(y+l) будет раскладываться в ряд Фурье: g(x)=g(y+l)=n=0(αncosπnyl+βnsinπnyl), а его коэффициенты мы сможем вычислить так: αn=1lllg(y+l)cosπnyldy=1l2l0g(x)cosπn(xl)ldx=1l2l0g(x)cos(πnxlπn)dx=(1)nl2l0g(x)cosπnxldx, α0=12lllg(y+l)dy=12l2l0g(x)dx, βn=1lllg(y+l)sinπnyldy=(1)nl2l0g(x)sinπnxldx. Заменим обратно переменные внутри ряда y=xl: g(x)=n=0(αncosπnyl+βnsinπnyl)=n=0(αncosπn(xl)l+βnsinπn(xl)l)=n=0(1)n(αncosπnxl+βnsinπnxl). Введём обозначения: an=(1)nαn(n0),bn=(1)nβn; an=1l2l0g(x)cosπnxldx,a0=12l2l0g(x)dx,bn=1l2l0g(x)sinπnxldx. В этих обозначениях g(x)=n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl). Так можно разложить функцию в ряд Фурье на отрезке [0,2l].

Пример: №2939 Разложить в ряд Фурье в интервале x[0,2l] функцию f(x)={A,0<x<l,0,l<x<2l. f(x)=n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl), где an=1l2l0f(x)cosπnxldx=1ll0Acosπnxldx+1l2ll0cosπnxldx=All0cosπnxldx= =Allπnsinπnxl|l0=Aπnsinπnxl|l0=0, a0=12l2l0f(x)dx=12ll0Adx+12l2ll0dx=A2ll+0=A2, bn=1l2l0f(x)sinπnxldx=1ll0Asinπnxldx+1l2ll0sinπnxldx=All0sinπnxldx= =Allπncosπnxl|l0=Aπn[(1)n1]=Aπn[1(1)n]. Подставляем коэффициенты в ряд: f(x)=n=0(ancosπnxl+bnsinπnxl)=a0+n=1bnsinπnxl=A2+n=1Aπn[1(1)n]sinπnxl= Сгруппируем попарно нечётные и чётные слагаемые, [1(1)2k]=0: =A2+k=1{Aπ(2k1)[1(1)(2k1)]sinπ(2k1)xl+Aπ2k[1(1)2k]sinπ2kxl}=A2+k=12Aπ(2k1)sinπ(2k1)xl. Окончательно, f(x)=A2+k=12Aπ(2k1)sinπ(2k1)xl.

Задание: решите № 2941, 2961*.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников