Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в интеграле:
\[
\intop_{0}^{1}dx\intop_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}}dyf\left(x,y\right)
\]
Якобиан перехода от декартовых координат к полярным, как известно с прошлого занятия, равен $r$.
Вначале поставим снаружи интеграл по $d\varphi$:
\[
\intop_{0}^{1}dx\intop_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}}dyf\left(x,y\right)=\intop d\varphi\intop drf\left(x,y\right)r.
\]
Осталось в последнем интеграле расставить пределы интегрирования. (см. рис. 1) Для координаты $\varphi$ для этого нужно искать наименьшее и наибольшее значения, которые она принимает в точках $\left(1;0\right)$, где $\varphi=0$, и $\left(0;1\right)$, где $\varphi=\frac{\pi}{2}$.
Координата $r$, так как имеет смысл расстояния от начала координат, принимает наибольшие значения на самых дальних точках, т.е. точках дуги единичной окружности, где $r=1$. Наименьшие же значения она принимает в точках хорды, где
\[
y=1-x,
\]
причём для каждого $\varphi$ это значение своё:
\[
r\sin\varphi=1-r\cos\varphi,
\]
\[
r\left(\sin\varphi+\cos\varphi\right)=1,
\]
\[
r=\frac{1}{\sin\varphi+\cos\varphi}.
\]
Итак,
\[
\intop_{0}^{1}dx\intop_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}}dyf\left(x,y\right)=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\intop_{\frac{1}{\sin\varphi+\cos\varphi}}^{1}drf\left(x,y\right)r.
\]
Если же теперь снаружи поставить интеграл по $dr$, то придётся искать наименьшее и наибольшее значения $r$ на всей области интегрирования. Наибольшее, как мы уже знаем, равно 1, а наименьшее достигается в точке, в которую падает перпендикуляр к хорде, ограничивающей область интегрирования снизу (см. рис. 2). Нетрудно видеть, что оно равно $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Множество точек с одинаковым $r$ образует дугу радиуса $r$, которая, проходя через нашу область интегрирования, пересекает хорду $y=1-x$ в двух местах; в левой нижней из этих точек достигается наименьшее значение $\varphi$ при данном $r$, в правой верхней — наибольшее. Находятся они, как и в предыдущем случае, из уравнения хорды в полярных координатах, но теперь мы решаем его относительно $\varphi$:
\[
r\left(\sin\varphi+\cos\varphi\right)=1,
\]
\[
\sin\varphi+\cos\varphi=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)+\cos\varphi=2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)=\sqrt{2}\cos\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right),
\]
\[
\sqrt{2}\cos\left(\varphi-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{r},
\]
\[
\varphi-\frac{\pi}{4}=\pm\arccos\frac{1}{\sqrt{2}r},
\]
\[
\varphi=\frac{\pi}{4}\pm\arccos\frac{1}{\sqrt{2}r},
\]
\[
\varphi_{min}=\frac{\pi}{4}-\arccos\frac{1}{\sqrt{2}r},\qquad\varphi_{max}=\frac{\pi}{4}+\arccos\frac{1}{\sqrt{2}r};
\]
тогда
\[
\intop_{0}^{1}dx\intop_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}}dyf\left(x,y\right)=\intop_{1/\sqrt{2}}^{1}dr\intop_{\frac{\pi}{4}-\arccos\frac{1}{\sqrt{2}r}}^{\frac{\pi}{4}+\arccos\frac{1}{\sqrt{2}r}}d\varphi f\left(x,y\right)r.
\]
