Переходя к полярным координатам, заменить двойной интеграл ∬ однократным
Вначале изобразим фигуру, заданную неравенством, на плоскости. Для этого (смотрите внимательно, тов. Батталов) перенесём x в левую часть и выделим полный квадрат x^{2}+y^{2}\leqslant x x^{2}-2x\frac{1}{2}+y^{2}\leqslant0 x^{2}-2x\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^{2}\leqslant\frac{1}{4} \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}\leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
Полученное будет кругом с центром в точке \left(\frac{1}{2};0\right) и радиусом \frac{1}{2}.
Переведём подынтегральное выражение в полярные кординаты: \frac{y}{x}=\frac{r\sin\varphi}{r\cos\varphi}=\mathrm{tg}\,\varphi. Туда же переведём неравенство, задающее круг: r^{2}\cos^{2}\varphi+r^{2}\sin^{2}\varphi\leqslant r\cos\varphi, r\leqslant\cos\varphi. Далее, r\geqslant0,\qquad\Rightarrow\qquad\cos\varphi\geqslant0,\qquad\Rightarrow\qquad-\frac{\pi}{2}\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}, в итоге \iint\limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant x}f\left(\frac{y}{x}\right)dx=\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits _{0}^{\cos\varphi}drf\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\cdot r= Внутренний интеграл из этого вложения можно, как оказывается, взять: =\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\int\limits _{0}^{\cos\varphi}rdr=\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\frac{\cos^{2}\varphi}{2}=\frac{1}{2}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\cos^{2}\varphi d\varphi= после чего интеграл оказывается, как и требовалось, однократным. Также можно, хотя от нас этого не требовали, заменить переменные, чтобы избавиться от тангенсов: \mathrm{tg}\,\varphi=t, =\frac{1}{2}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\cos^{4}\varphi\frac{d\varphi}{\cos^{2}\varphi}=\frac{1}{2}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\left(\frac{1}{1+\mathrm{tg}^{2}\,\varphi}\right)^{2}\frac{d\varphi}{\cos^{2}\varphi}=\frac{1}{2}\int\limits _{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)\left(\frac{1}{1+t^{2}}\right)^{2}dt=\frac{1}{2}\int\limits _{-\infty}^{\infty}\frac{f\left(t\right)dt}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}
