Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Переходя к полярным координатам, заменить двойной интеграл $$\iint\limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant x}f\left(\frac{y}{x}\right)dx$$ однократным

Вначале изобразим фигуру, заданную неравенством, на плоскости. Для этого (смотрите внимательно, тов. Батталов) перенесём $x$ в левую часть и выделим полный квадрат $$x^{2}+y^{2}\leqslant x$$ $$x^{2}-2x\frac{1}{2}+y^{2}\leqslant0$$ $$x^{2}-2x\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^{2}\leqslant\frac{1}{4}$$ $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}\leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Полученное будет кругом с центром в точке $\left(\frac{1}{2};0\right)$ и радиусом $\frac{1}{2}$.

Переведём подынтегральное выражение в полярные кординаты: $$\frac{y}{x}=\frac{r\sin\varphi}{r\cos\varphi}=\mathrm{tg}\,\varphi.$$ Туда же переведём неравенство, задающее круг: $$r^{2}\cos^{2}\varphi+r^{2}\sin^{2}\varphi\leqslant r\cos\varphi,$$ $$r\leqslant\cos\varphi.$$ Далее, $$r\geqslant0,\qquad\Rightarrow\qquad\cos\varphi\geqslant0,\qquad\Rightarrow\qquad-\frac{\pi}{2}\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},$$ в итоге $$\iint\limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant x}f\left(\frac{y}{x}\right)dx=\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits _{0}^{\cos\varphi}drf\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\cdot r=$$ Внутренний интеграл из этого вложения можно, как оказывается, взять: $$=\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\int\limits _{0}^{\cos\varphi}rdr=\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\frac{\cos^{2}\varphi}{2}=\frac{1}{2}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\cos^{2}\varphi d\varphi=$$ после чего интеграл оказывается, как и требовалось, однократным. Также можно, хотя от нас этого не требовали, заменить переменные, чтобы избавиться от тангенсов: $\mathrm{tg}\,\varphi=t$, $$=\frac{1}{2}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\cos^{4}\varphi\frac{d\varphi}{\cos^{2}\varphi}=\frac{1}{2}\int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}f\left(\mathrm{tg}\,\varphi\right)\left(\frac{1}{1+\mathrm{tg}^{2}\,\varphi}\right)^{2}\frac{d\varphi}{\cos^{2}\varphi}=\frac{1}{2}\int\limits _{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)\left(\frac{1}{1+t^{2}}\right)^{2}dt=\frac{1}{2}\int\limits _{-\infty}^{\infty}\frac{f\left(t\right)dt}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$$