В интеграле b∫adxβx∫αxdyf(x,y),0<a<b,0<α<β, перейти к переменным: u=x, v=y/x (обратно можно выразить x=u, y=vx=uv).

Сначала преобразуем область интегрирования. Из пределов интегрирования для x получим a⩽x⩽b,x=u,⇒a⩽u⩽b. Заметим ещё, что 0<a⩽x⇒x>0. Из пределов интегрирования для y получим αx⩽y⩽βx⇒α⩽yx⩽β⇒α⩽v⩽β, после чего область интегрирования становится прямоугольной: b∫adxβx∫αxdyf(x,y)=b∫aduβ∫αdvf(u,uv)|J|. Замечу, что в отличие от однократных интегралов, где замены почти всегда делаются для упрощения или приведения к нужному виду подынтегрального выражения, в многократных это часто делают, чтобы аналогично «окирпичить» область интегрирования.
Вычислим теперь якобиан, который тоже понадобится в преобразованном интеграле: J=|∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v|=|1v0u|=u, u=x>0⇒|J|=|u|=u. Итак, b∫adxβx∫αxdyf(x,y)=b∫aduβ∫αdvf(u,uv)|J|=b∫aduβ∫αdvf(u,uv)u.