Здравствуйте! Нижеследующее вам нужно освоить и сделать. Не обязательно все задания делать прямо сейчас, но к следующему занятию они должны быть доделаны все. Спрашивайте, если что непонятно.
Если функция в некоторой окрестности точки x может быть представлена в виде f(x1)=f(x)+A(x)⋅Δx+o(Δx), где Δx=x1−x – приращение аргумента, а o(Δx) - это такое слагаемое, которое обладает свойством limΔx→0o(Δx)Δx=0, то функция f называется дифференцируемой, а слагаемое A(x)⋅Δx (являющееся линейной частью приращения) в этом разложении называется дифференциалом функции f, и обозначается df. Запомните приведённое выше определение дифференциала, оно будет ещё долго работать: дифференциал - это линейная часть приращения.
Можно заметить, что f(x1)−f(x)=A(x)⋅Δx+o(Δx), f(x+Δx)−f(x)Δx=A(x)+o(Δx)Δx, limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx≡f′(x)=A(x)+limΔx→0o(Δx)Δx=A(x), то есть A(x)=f′(x), и df(x)=A(x)⋅Δx=f′(x)⋅Δx. Далее, в случае, когда f(x)=x, dx=x′⋅Δx=1⋅Δx=Δx. Поэтому в обозначении дифференциала обычно заменяют Δx на dx: df(x)=f′(x)⋅Δx=f′(x)dx. Задача нахождения дифференциала функции одной переменной (для функций многих переменных это будет не так) сводится, таким образом, к приписыванию к производной этой функции двух букв (dx), обозначающих приращение аргумента. Легко находится, что дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной: d(αf+βg)=αdf+βdg,(α,β=const),d(fg)=g⋅df+f⋅dg,d(fg)=g⋅df−f⋅dgg2, df(g)=f′(g)⋅dg Примеры: Демидович №1087 y=12aln|x−ax+a|,dy=? Заметим, что y=12aln|x−ax+a|=12a(ln|x−a|−ln|x+a|) Буквой a, если не обозначено иное, в Демидовиче обозначается константа. Поэтому dy′=12a(dln|x−a|−dln|x+a|)=12a(dxx−a−dxx+a)=12a(x+ax2−a2−x−ax2−a2)dx= =12a2ax2−a2dx=dxx2−a2. Демидович №1093 y=1√u2+v2, причём u и v – функции от x. dy=d1√u2+v2=d(u2+v2)−1/2=−12(u2+v2)−3/2d(u2+v2)=−122udu+2vdv√(u2+v2)3=−=−udu+vdv√(u2+v2)3. Задание: Демидович № 1085, 1086, 1089, 1090 а-в, 1092, 1094.
По аналогии с второй производной, второй дифференциал – это дифференциал от дифференциала (обозначается d2f), третий – дифференциал от второго дифференциала (обозначается d3f), и т.д. При вычислении дифференциала от дифференциала нужно помнить, что приращение x никак не зависит от самого x, а значит, (dx)′=0,d2x=d(dx)=0. Для остальных функций от x это, в общем случае, не верно. В частности, легко получить, что dnf(x)=f(n)(x)(dx)n.
Примеры: Демидович №1132 y=lnxx,d2y=? dy=dlnxx=d(1xlnx)=−dxx2lnx+1xdxx=1−lnxx2dx, d2y=d(1−lnxx2dx)=(1−1xx2−21−lnxx3)(dx)2=(x−1x3+−2+2lnxx3)(dx)2=x−3+2lnxx3(dx)2. Демидович №1135 y=uv,d2y=? dy=d(u1v)=1vdu+ud(1v)=1vdu−u1v2dv d2y=d(dy)=d(1vdu−u1v2dv)=d(1vdu)−d(u1v2dv)= =1vd(du)+d(1v)du−d(u)1v2dv−u⋅dv⋅d(1v2)−u1v2d(dv)= =1vd2u−dvv2du−1v2dudv−udv(−2dvv3)−u1v2d2v= =1vd2u−1v2dudv−1v2dudv+2u(dv)2v3−u1v2d2v= =−2v2dudv+2u(dv)2v3+1vd2u−u1v2d2v. Замечу, что нехорошо писать du2, так как непонятно, что имеется в виду: d(u2)=2udu≠(du)2.
Задание: Демидович № 1131, 1134, 1138, 1172, 1173
Логично расширить идею разложения, с которого началось это занятие: если у приращения функции можно выделить линейную часть по приращению аргумента, то почему нельзя выделить части, зависящие от приращения аргумента квадратично, кубично и так далее? Эта мысль воплощается в способе разложения функций, который называется формулой Тейлора. Согласно ей, вокруг точки x0 f(x)=n∑k=0ak(x−x0)k+R, причём коэффициенты ak не зависят от x, и вычисляются по формуле ak=f(k)(x0)k!; а R называется остаточным членом и оценивается разными способами. Если констатируется, что (это доказывается отдельно) limx→x0R(x−x0)n=0, то говорят, что остаточный член представлен в форме Пеано. R=f(n+1)(x0+θ(x−x0))(n+1)!(x−x0)n+1,0<θ<1, называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Пример: Демидович №1386 Разложить tgx по степеням x (то есть вокруг нуля) до степени x5
Находим первые пять производных функции tgx: tg′x=1cos2x tg″ \mathrm{tg}^{(3)}\,x=\frac{4\sin^{2}x+2}{\cos^{4}x} \mathrm{tg}^{(4)}\,x=\frac{8\sin^{3}x+16\sin x}{\cos^{5}x} \mathrm{tg}^{(5)}\,x=\frac{16\sin^{4}x+88\sin^{2}x+16}{\cos^{6}x} Так как раскладываем вокруг нуля (x_{0}=0), нам потребуются эти производные (с самой функцией) в нуле: \mathrm{tg}\,0=0 \mathrm{tg}'\,0=1 \mathrm{tg}''\,0=0 \mathrm{tg}^{(3)}\,0=2 \mathrm{tg}^{(4)}\,x=0 \mathrm{tg}^{(5)}\,x=16 Так как a_{k}=\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}, a_{0}=\frac{\mathrm{tg}\,0}{0!}=0 a_{1}=\frac{\mathrm{tg}'\,0}{1!}=\frac{1}{1}=1 a_{2}=0 a_{3}=\frac{2}{3!}=\frac{1}{3} a_{4}=0 a_{5}=\frac{16}{5!}=\frac{16}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{4}{2\cdot3\cdot5}=\frac{2}{15} Тогда \mathrm{tg}\,x=\sum_{k=0}^{5}a_{k}x^{k}+R\approx a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}. Задание: Демидович № 1385, 1384.