Разложим вокруг нуля следующую функцию: 1+x+x21−x+x2=
=1+x+x21−x+x21−x1−x=1−x31−x+x211−x=1−x31−x+x21+x1+x11−x=1−x31+x31+x1−x=(1−2x3+1)(1+2x−1). Как известно, 11−x=N∑n=0xn+R. При N=4 и остатке в форме Пеано 11−x=4∑n=0xn+R=1+x+x2+x3+x4+o(x4), тогда (−2o(x4)=o(x4)) 1−21−x=−1−2x−2x2−2x3−2x4+o(x4). По той же формуле (1), 1x3+1=11−(−x3)=N∑n=0(−1)nx3n+R. При N=2 1x3+1=1−x3+x6+R. Раз коэфициент при 4-й степени равен нулю, можно считать, что раскладываем мы до 4-й степени, но это слагаемое обнуляется. Однако тогда 1x3+1=1−x3+o(x4), (а не o(x3), как было бы без этого предположения), и 1−21−(−x3)=−1+2x3+o(x4). С учётом полученного выше 1+x+x21−x+x2=(1−21−(−x3))(1−21−x)=(−1+2x3+o(x4))(−1−2x−2x2−2x3−2x4+o(x4))= =−(−1−2x−2x2−2x3−2x4+o(x4))+2x3(−1−2x−2x2−2x3−2x4+o(x4))+o(x4)(−1−2x−2x2−2x3−2x4+o(x4))= (легко видеть, что o(x4)(−1−2x−2x2−2x3−2x4+o(x4))=o(x4)) =1+2x+2x2+2x3+2x4−o(x4)−2x3−4x4−4x5−4x6−4x7+2x3o(x4)+o(x4)= =1+2x+2x2−2x4+[−4x5−4x6−4x7+2x3o(x4)+o(x4)−o(x4)]= и окончательно =1+2x+2x2−2x4+o(x4).
