Разложим вокруг нуля следующую функцию: \[ \frac{1+x+x^{2}}{1-x+x^{2}}= \]
\[ =\frac{1+x+x^{2}}{1-x+x^{2}}\frac{1-x}{1-x}=\frac{1-x^{3}}{1-x+x^{2}}\frac{1}{1-x}=\frac{1-x^{3}}{1-x+x^{2}}\frac{1+x}{1+x}\frac{1}{1-x}=\frac{1-x^{3}}{1+x^{3}}\frac{1+x}{1-x}=\left(1-\frac{2}{x^{3}+1}\right)\left(1+\frac{2}{x-1}\right). \] Как известно, \begin{equation} \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{N}x^{n}+R. \label{tabl} \end{equation} При $N=4$ и остатке в форме Пеано \[ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{4}x^{n}+R=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+o\left(x^{4}\right), \] тогда ($-2o\left(x^{4}\right)=o\left(x^{4}\right)$) \[ 1-\frac{2}{1-x}=-1-2x-2x^{2}-2x^{3}-2x^{4}+o\left(x^{4}\right). \] По той же формуле (\ref{tabl}), \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{1}{1-\left(-x^{3}\right)}=\sum_{n=0}^{N}\left(-1\right)^{n}x^{3n}+R. \] При $N=2$ \[ \frac{1}{x^{3}+1}=1-x^{3}+x^{6}+R. \] Раз коэфициент при 4-й степени равен нулю, можно считать, что раскладываем мы до 4-й степени, но это слагаемое обнуляется. Однако тогда \[ \frac{1}{x^{3}+1}=1-x^{3}+o\left(x^{4}\right), \] (а не $o\left(x^{3}\right)$, как было бы без этого предположения), и \[ 1-\frac{2}{1-\left(-x^{3}\right)}=-1+2x^{3}+o\left(x^{4}\right). \] С учётом полученного выше \[ \frac{1+x+x^{2}}{1-x+x^{2}}=\left(1-\frac{2}{1-\left(-x^{3}\right)}\right)\left(1-\frac{2}{1-x}\right)=\left(-1+2x^{3}+o\left(x^{4}\right)\right)\left(-1-2x-2x^{2}-2x^{3}-2x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right)= \] \[ =-\left(-1-2x-2x^{2}-2x^{3}-2x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right)+2x^{3}\left(-1-2x-2x^{2}-2x^{3}-2x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right)+o\left(x^{4}\right)\left(-1-2x-2x^{2}-2x^{3}-2x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right)= \] (легко видеть, что $o\left(x^{4}\right)\left(-1-2x-2x^{2}-2x^{3}-2x^{4}+o\left(x^{4}\right)\right)=o\left(x^{4}\right)$) \[ =1+2x+2x^{2}+2x^{3}+2x^{4}-o\left(x^{4}\right)-2x^{3}-4x^{4}-4x^{5}-4x^{6}-4x^{7}+2x^{3}o\left(x^{4}\right)+o\left(x^{4}\right)= \] \[ =1+2x+2x^{2}-2x^{4}+\left[-4x^{5}-4x^{6}-4x^{7}+2x^{3}o\left(x^{4}\right)+o\left(x^{4}\right)-o\left(x^{4}\right)\right]= \] и окончательно \[ =1+2x+2x^{2}-2x^{4}+o\left(x^{4}\right). \]
