Найти объём тела, ограниченного поверхностями: z=x2+y2,y=x2,y=1,z=0.
Поверхность, заданая уравнением, в котором нет координаты z, состоит из прямых, параллельных оси z и перпендикулярных плоскости xy. Поэтому сначала начертим сечения таких поверхностей на плоскостью xy. К таким поверхностям относятся заданные уравнениями y=x2,y=1.

Вертикальная труба с сечением в виде этой чашки отсекается с двух сторон: снизу - плоскостью xy (заданную уравнением z=0), а сверху – параболоидом z=x2+y2. Пересекаются эти поверхности только в начале координат:

Объём тела тогда задаётся интегралом V=∬ =\int\limits _{-1}^{1}dx\left[\left(x^{2}+\frac{1}{3}\right)-\left(x^{2}x^{2}+\frac{\left(x^{2}\right)^{3}}{3}\right)\right]=\int\limits _{-1}^{1}\left[\frac{1}{3}+x^{2}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}\right]dx=\left.\left[\frac{1}{3}x+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{21}\right]\right|_{-1}^{1}= и в силу нечётности степеней в последнем выражении =2\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}\right]=2\left[\frac{13}{21}-\frac{1}{5}\right]=2\left[\frac{65}{21\cdot5}-\frac{21}{21\cdot5}\right]=\frac{88}{105}.