Найти объём тела, ограниченного поверхностями: \[ z=x^{2}+y^{2},\quad y=x^{2},\quad y=1,\quad z=0. \]
Поверхность, заданая уравнением, в котором нет координаты $z$, состоит из прямых, параллельных оси $z$ и перпендикулярных плоскости $xy$. Поэтому сначала начертим сечения таких поверхностей на плоскостью $xy$. К таким поверхностям относятся заданные уравнениями \[ y=x^{2},\quad y=1. \]
Вертикальная труба с сечением в виде этой чашки отсекается с двух сторон: снизу - плоскостью $xy$ (заданную уравнением $z=0$), а сверху – параболоидом $z=x^{2}+y^{2}$. Пересекаются эти поверхности только в начале координат:
Объём тела тогда задаётся интегралом \[ V=\iint\limits _{S}\left(z_{sup}-z_{inf}\right)dxdy=\iint\limits _{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)dxdy=\int\limits _{-1}^{1}dx\int\limits _{x^{2}}^{1}dy\left(x^{2}+y^{2}\right)=\int\limits _{-1}^{1}dx\left.\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)\right|_{x^{2}}^{1}= \] \[ =\int\limits _{-1}^{1}dx\left[\left(x^{2}+\frac{1}{3}\right)-\left(x^{2}x^{2}+\frac{\left(x^{2}\right)^{3}}{3}\right)\right]=\int\limits _{-1}^{1}\left[\frac{1}{3}+x^{2}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}\right]dx=\left.\left[\frac{1}{3}x+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{21}\right]\right|_{-1}^{1}= \] и в силу нечётности степеней в последнем выражении \[ =2\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}\right]=2\left[\frac{13}{21}-\frac{1}{5}\right]=2\left[\frac{65}{21\cdot5}-\frac{21}{21\cdot5}\right]=\frac{88}{105}. \]
