Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

23.11.2020

Демидович № 4022

Filed under: мат. ан. сем. 3,Решения — Shine @ 10:53 пп

Найти объём тела, ограниченного поверхностями (a,b,c>0): x2a2+y2b2z2c2=1,x2a2+y2b2=1.

Уравнение x2a2+y2b2=1 задаёт эллипс на плоскости ху, а в пространстве – трубу эллиптического сечения, параллельную оси З. От этой трубы отсекается снизу и сверху тело конечного объёма чашами двухполостного гиперболоида, заданного уравнением x2a2+y2b2z2c2=1: x2a2+y2b2+1=z2c2, z=±cx2a2+y2b2+1.

рис.1

Объём тела задаётся интегралом V=S(zsupzinf)dxdy=x2a2+y2b212cx2a2+y2b2+1dxdy. Перейдём к обобщённо-полярным координатам {x=arcosφ,y=brsinφ. После выноса констант из якобиана, определитель совпадёт с якобианом для полярных координат J=abr. Также x2a2+y2b2=a2r2cos2φa2+b2r2sin2φb2=r2cos2φ+r2sin2φ=r2. Неравенство x2a2+y2b21 после подстановки превратится в r21, т.е. r1. Тогда V=x2a2+y2b212cx2a2+y2b2+1dxdy=2c2π0dφ10drr2+1abr=2abc2π13(r2+1)32|10=4π3[221]abc.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников