Найти объём тела, ограниченного поверхностями (a,b,c>0): x2a2+y2b2−z2c2=−1,x2a2+y2b2=1.
Уравнение x2a2+y2b2=1 задаёт эллипс на плоскости ху, а в пространстве – трубу эллиптического сечения, параллельную оси З. От этой трубы отсекается снизу и сверху тело конечного объёма чашами двухполостного гиперболоида, заданного уравнением x2a2+y2b2−z2c2=−1: x2a2+y2b2+1=z2c2, z=±c√x2a2+y2b2+1.

Объём тела задаётся интегралом V=∬S(zsup−zinf)dxdy=∬x2a2+y2b2⩽12c√x2a2+y2b2+1dxdy. Перейдём к обобщённо-полярным координатам {x=arcosφ,y=brsinφ. После выноса констант из якобиана, определитель совпадёт с якобианом для полярных координат J=abr. Также x2a2+y2b2=a2r2cos2φa2+b2r2sin2φb2=r2cos2φ+r2sin2φ=r2. Неравенство x2a2+y2b2⩽1 после подстановки превратится в r2⩽1, т.е. r⩽1. Тогда V=∬x2a2+y2b2⩽12c√x2a2+y2b2+1dxdy=2c2π∫0dφ1∫0dr√r2+1⋅abr=2abc⋅2π⋅13(r2+1)32|10=4π3[2√2−1]abc.