Найти объём тела, ограниченного поверхностями ($a,b,c > 0$): \[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1,\qquad\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1. \]
Уравнение $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ задаёт эллипс на плоскости ху, а в пространстве – трубу эллиптического сечения, параллельную оси З. От этой трубы отсекается снизу и сверху тело конечного объёма чашами двухполостного гиперболоида, заданного уравнением $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1$: \[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+1=\frac{z^{2}}{c^{2}}, \] \[ z=\pm c\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+1}. \]
Объём тела задаётся интегралом \[ V=\iint\limits _{S}\left(z_{sup}-z_{inf}\right)dxdy=\iint\limits _{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leqslant1}2c\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+1}dxdy. \] Перейдём к обобщённо-полярным координатам \[ \left\{ \begin{array}{c} x=ar\cos\varphi,\\ y=br\sin\varphi. \end{array}\right. \] После выноса констант из якобиана, определитель совпадёт с якобианом для полярных координат \[ J=abr. \] Также \[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{a^{2}r^{2}\cos^{2}\varphi}{a^{2}}+\frac{b^{2}r^{2}\sin^{2}\varphi}{b^{2}}=r^{2}\cos^{2}\varphi+r^{2}\sin^{2}\varphi=r^{2}. \] Неравенство $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leqslant1$ после подстановки превратится в $r^{2}\leqslant1$, т.е. $r\leqslant1$. Тогда \[ V=\iint\limits _{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leqslant1}2c\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+1}dxdy=2c\int\limits _{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits _{0}^{1}dr\sqrt{r^{2}+1}\cdot abr=2abc\cdot2\pi\cdot\left.\frac{1}{3}\left(r^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0}^{1}=\frac{4\pi}{3}\left[2\sqrt{2}-1\right]abc. \]
