Просил тов. Леденёв.
Найти первые и вторые производные функции
u=arcsinx√x2+y2
Первые производные:
u′x=1√1−x2x2+y2(1√x2+y2−12x(x2+y2)3/2⋅2x)=1√1−x2x2+y21√x2+y2(1−x2x2+y2)=
=1√x2+y2−x2(x2+y2x2+y2−x2x2+y2)=1√y2y2x2+y2=1|y||y|2x2+y2=|y|x2+y2,
u′y=1√1−x2x2+y2(−12)x(x2+y2)3/2⋅2y=−1√x2+y2−x2xyx2+y2=−1|y|xyx2+y2=−sgnyxx2+y2.
Далее вопрос был по смешаным производным, так что считаю только их.
Пользуясь тем, что |y|=sgnyy, ∂∂y|y|=∂∂y(sgnyy)=sgny,
|y|2=y2,
u′′xy=∂∂y|y|x2+y2=sgny(x2+y2)−|y|⋅2y(x2+y2)2=sgny(x2+y2)−2sgny|y|2(x2+y2)2=
=sgnyx2+y2−2y2(x2+y2)2=sgnyx2−y2(x2+y2)2;
u′′yx=∂∂x(−sgnyxx2+y2)=−sgnyx2+y2−x⋅2x(x2+y2)2=−sgnyy2−x2(x2+y2)2=sgnyx2−y2(x2+y2)2=u′′xy.