Просил тов. Леденёв.
Найти первые и вторые производные функции
\[
u=\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
Первые производные:
\[
u_{x}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\cdot2x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\left(1-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)=
\]
\[
=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-x^{2}}}\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{y^{2}}}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{\left|y\right|}\frac{\left|y\right|^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\left|y\right|}{x^{2}+y^{2}},
\]
\[
u_{y}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\cdot2y=-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-x^{2}}}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{1}{\left|y\right|}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=-\mathrm{sgn}\,y\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
\]
Далее вопрос был по смешаным производным, так что считаю только их.
Пользуясь тем, что $\left|y\right|=\mathrm{sgn}\,yy$, $\frac{\partial}{\partial y}\left|y\right|=\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{sgn}\,yy\right)=\mathrm{sgn}\,y$,
$\left|y\right|^{2}=y^{2}$,
\[
u_{xy}^{\prime\prime}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\left|y\right|}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\mathrm{sgn}\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)-\left|y\right|\cdot2y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{\mathrm{sgn}\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\mathrm{sgn}\,y\left|y\right|^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=
\]
\[
=\mathrm{sgn}\,y\frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\mathrm{sgn}\,y\frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}};
\]
\[
u_{yx}^{\prime\prime}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\mathrm{sgn}\,y\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)=-\mathrm{sgn}\,y\frac{x^{2}+y^{2}-x\cdot2x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=-\mathrm{sgn}\,y\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\mathrm{sgn}\,y\frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=u_{xy}^{\prime\prime}.
\]
