Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

15.10.2021

Демидович № 3760

Filed under: мат. ан. сем. 3,Решения — Shine @ 4:15 пп

Определить, сходится ли интеграл 0sinxxeαxdx равномерно при α0.

Докажем, что этот интеграл равномерно сходится.

Подынтегральное выражение не существует в обоих пределах интегрирования, и мы начнём с нуля. Как известно, limx0sinxx=1, что по определению означает, что δ>0, что при всяком 0<x<δ |sinxx1|<12, значит 0<12<sinxx<32, а тогда 0<sinxxeαx<32eαx<32 - что означает, что функция sinxxeαx – ограниченная. По отрезку x[0;A] интеграл от неё берётся по Риману и не является несобственным.

Теперь докажем равномерную сходимость всякого интеграла вида A>0sinxxeαxdx на бесконечности, для чего воспользуемся критерием Коши: для ε>0 B(ε), что для любых b2>b1>B |b2b1sinxxeαxdx|<ε. Для этого сначала оценим интеграл вида b2b1sinxxeαxdx. Процесс этот будет долгим и многоэтапным.

Пусть вначале 2πnx2πn+π, nN. В этой области sinx0. Возведём исходную цепочку неравенств в степень -1 12πn1x12πn+π и применим к ней же функцию eαx eα2πneαxeα(2πn+π), далее получившиеся цепочки перемножим (пользуясь тем, что их звенья положительны) и умножим на положительный sinx sinx2πneα2πnsinxxeαxsinx2πn+πeα(2πn+π). От всех звеньев цепочки неравенств возьмём интеграл и применим следующее 2πn+π2πnsinxdx=cosx|2πn+π2πn=(11)=2, получим 1πneα2πn2πn+π2πnsinxxeαxdx22πn+πeα(2πn+π). Так нам удалось ограничить интеграл вида (1) для b1=2πn и b2=2πn+π.

Рассмотрим теперь область отрицательного синуса. При 2πn+πx2πn+2π sinx0, тогда 12πn+π1x12πn+2π, eα(2πn+π)eαxeα(2πn+2π), и в результате sinx2πn+πeα(2πn+π)sinxxeαxsinx2πn+2πeα(2πn+2π). Проинтегрируем: 2πn+2π2πn+πsinxdx=cosx|2πn+2π2πn+π=(1(1))=2, откуда 22πn+πeα(2πn+π)2πn+2π2πn+πsinxxeαxdx22πn+2πeα(2πn+2π), 22πn+2πeα(2πn+2π)2πn+2π2πn+πsinxxeαxdx22πn+πeα(2πn+π). Сложим (2) и (3), получим 1πneα2πn1πn+πeα(2πn+2π)2πn+2π2πnsinxxeαxdx0. Здесь интегралы посередине, бравшиеся от одной функции, но по разным областям, объединились в один интеграл по одному периоду синуса.

Полученная верхняя оценка содержит α и сама требует оценки: 1πneα2πn1πn+πeα(2πn+2π)=[1πn1πn+πeα2π]eα2πn1πn1πn+πeα2π, но так как eα2π1, 1πn+πeα2π1πn+π, 1πn1πn+πeα2π1πn1πn+π=1π(1n1n+1) (я специально не привёл дроби к общему знаменателю).

Итого 02π(n+1)2πnsinxxeαxdx1πneα2πn1πn+πeα(2πn+2π)1π(1n1n+1). Если теперь взять m подряд идущих периодов, то есть принять b1=2πn и b2=2π(n+m), суммируя предыдущее, получим что интеграл по такой области ограничен так: 02π(n+m)2πnsinxxeαxdx=m1k=02π(n+k+1)2π(n+k)sinxxeαxdx1πm1k=0(1n+k1n+k+1)=1π(1n1n+m)<1πn, а раз он положителен, то |2π(n+m)2πnsinxxeαxdx|<1πn.

Теперь учтём, что начинаться и заканчиваться область интегрирования не обязана в нулях синуса, и учтём обрезки на её концах, т.е. такие области интегрирования, для которых 2πnab2π(n+1).

1) Пусть 2πnab2πn+π, sinx0 2πn+π2πnsinxxeαxdx=a2πnsinxxeαxdx+basinxxeαxdx+2πn+πbsinxxeαxdx, a2πnsinxxeαxdx0,2πn+πbsinxxeαxdx0, и потому

0basinxxeαxdx2πn+π2πnsinxxeαxdx=a2πnsinxxeαxdx+basinxxeαxdx+2πn+πbsinxxeαxdx1πneα2πn. Сокращаем и продляем цепочку неравенств: 0basinxxeαxdx1πneα2πn1πn, а значит, |basinxxeαxdx|1πn.

2) Пусть теперь 2πn+πab2π(n+1), sinx0, 2πn+2π2πn+πsinxxeαxdx=a2πn+πsinxxeαxdx+basinxxeαxdx+2πn+2πbsinxxeαxdx, a2πn+πsinxxeαxdx0,2πn+2πbsinxxeαxdx0, значит, 0basinxxeαxdx2πn+2π2πn+πsinxxeαxdx22πn+πeα(2πn+π). 0basinxxeαxdx22πn+πeα(2πn+π)22πn+π1πn |basinxxeαxdx|1πn.

3) 2πna2πn+πb2π(n+1)

Используя случай 1), basinxxeαxdx=2πn+πasinxxeαxdx+b2πn+πsinxxeαxdx2πn+πasinxxeαxdx1πn

Используя случай 2), basinxxeαxdx=2πn+πasinxxeαxdx+b2πn+πsinxxeαxdxb2πn+πsinxxeαxdx1πn Таким образом, 1πnbasinxxeαxdx1πn, |basinxxeαxdx|1πn, что, как мы видим, выполняется во всех трёх случаях.

Рассмотрим теперь интеграл b2b1sinxxeαxdx. Найдем числа n и n+m, так что n – ближайшее натуральное число, следующее за b12π, а n+m – ближайшее натуральное число, предшествующее b22π, чтобы b12πn2π(n+m)b2. Тогда b2b1sinxxeαxdx=2πnb1sinxxeαxdx+2π(n+m)2πnsinxxeαxdx+b22π(n+m)sinxxeαxdx |b2b1sinxxeαxdx||2πnb1sinxxeαxdx|+|2π(n+m)2πnsinxxeαxdx|+|b22π(n+m)sinxxeαxdx|3πn. 3πn<ε 2πn>6ε, для чего положим B>6ε: 6ε<B<b1<2πn Таким образом, для всякого ε>0 существует B=6ε+1, после которого |b2b1sinxxeαxdx|3πn<ε. Следовательно, исходный интеграл сходится по критерию Коши.

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников