Определить, сходится ли интеграл ∞∫0sinxxe−αxdx равномерно при α⩾0.
Докажем, что этот интеграл равномерно сходится.
Подынтегральное выражение не существует в обоих пределах интегрирования, и мы начнём с нуля. Как известно, limx→0sinxx=1, что по определению означает, что ∃δ>0, что при всяком 0<x<δ ⇒ |sinxx−1|<12, значит 0<12<sinxx<32, а тогда 0<sinxxe−αx<32e−αx<32 - что означает, что функция sinxxe−αx – ограниченная. По отрезку x∈[0;A] интеграл от неё берётся по Риману и не является несобственным.
Теперь докажем равномерную сходимость всякого интеграла вида ∞∫A>0sinxxe−αxdx на бесконечности, для чего воспользуемся критерием Коши: для ∀ε>0 ∃B(ε), что для любых b2>b1>B ⟹ |b2∫b1sinxxe−αxdx|<ε. Для этого сначала оценим интеграл вида b2∫b1sinxxe−αxdx. Процесс этот будет долгим и многоэтапным.
Пусть вначале 2πn⩽x⩽2πn+π, n∈N. В этой области sinx⩾0. Возведём исходную цепочку неравенств в степень -1 12πn⩾1x⩾12πn+π и применим к ней же функцию e−αx e−α2πn⩾e−αx⩾e−α(2πn+π), далее получившиеся цепочки перемножим (пользуясь тем, что их звенья положительны) и умножим на положительный sinx sinx2πne−α2πn⩾sinxxe−αx⩾sinx2πn+πe−α(2πn+π). От всех звеньев цепочки неравенств возьмём интеграл и применим следующее 2πn+π∫2πnsinxdx=−cosx|2πn+π2πn=−(−1−1)=2, получим 1πne−α2πn⩾2πn+π∫2πnsinxxe−αxdx⩾22πn+πe−α(2πn+π). Так нам удалось ограничить интеграл вида (1) для b1=2πn и b2=2πn+π.
Рассмотрим теперь область отрицательного синуса. При 2πn+π⩽x⩽2πn+2π sinx⩽0, тогда 12πn+π⩾1x⩾12πn+2π, e−α(2πn+π)⩾e−αx⩾e−α(2πn+2π), и в результате sinx2πn+πe−α(2πn+π)⩽sinxxe−αx⩽sinx2πn+2πe−α(2πn+2π). Проинтегрируем: 2πn+2π∫2πn+πsinxdx=−cosx|2πn+2π2πn+π=−(1−(−1))=−2, откуда −22πn+πe−α(2πn+π)⩽2πn+2π∫2πn+πsinxxe−αxdx⩽−22πn+2πe−α(2πn+2π), −22πn+2πe−α(2πn+2π)⩾2πn+2π∫2πn+πsinxxe−αxdx⩾−22πn+πe−α(2πn+π). Сложим (2) и (3), получим 1πne−α2πn−1πn+πe−α(2πn+2π)⩾2πn+2π∫2πnsinxxe−αxdx⩾0. Здесь интегралы посередине, бравшиеся от одной функции, но по разным областям, объединились в один интеграл по одному периоду синуса.
Полученная верхняя оценка содержит α и сама требует оценки: 1πne−α2πn−1πn+πe−α(2πn+2π)=[1πn−1πn+πe−α2π]e−α2πn⩽1πn−1πn+πe−α2π, но так как e−α2π⩽1, −1πn+πe−α2π⩽−1πn+π, 1πn−1πn+πe−α2π⩽1πn−1πn+π=1π(1n−1n+1) (я специально не привёл дроби к общему знаменателю).
Итого 0⩽2π(n+1)∫2πnsinxxe−αxdx⩽1πne−α2πn−1πn+πe−α(2πn+2π)⩽1π(1n−1n+1). Если теперь взять m подряд идущих периодов, то есть принять b1=2πn и b2=2π(n+m), суммируя предыдущее, получим что интеграл по такой области ограничен так: 0⩽2π(n+m)∫2πnsinxxe−αxdx=m−1∑k=02π(n+k+1)∫2π(n+k)sinxxe−αxdx⩽1πm−1∑k=0(1n+k−1n+k+1)=1π(1n−1n+m)<1πn, а раз он положителен, то |2π(n+m)∫2πnsinxxe−αxdx|<1πn.
Теперь учтём, что начинаться и заканчиваться область интегрирования не обязана в нулях синуса, и учтём обрезки на её концах, т.е. такие области интегрирования, для которых 2πn⩽a⩽b⩽2π(n+1).
1) Пусть 2πn⩽a⩽b⩽2πn+π, sinx⩾0 2πn+π∫2πnsinxxe−αxdx=a∫2πnsinxxe−αxdx+b∫asinxxe−αxdx+2πn+π∫bsinxxe−αxdx, a∫2πnsinxxe−αxdx⩾0,2πn+π∫bsinxxe−αxdx⩾0, и потому
0⩽b∫asinxxe−αxdx⩽2πn+π∫2πnsinxxe−αxdx=a∫2πnsinxxe−αxdx+b∫asinxxe−αxdx+2πn+π∫bsinxxe−αxdx⩽1πne−α2πn. Сокращаем и продляем цепочку неравенств: 0⩽b∫asinxxe−αxdx⩽1πne−α2πn⩽1πn, а значит, |b∫asinxxe−αxdx|⩽1πn.
2) Пусть теперь 2πn+π⩽a⩽b⩽2π(n+1), sinx⩽0, 2πn+2π∫2πn+πsinxxe−αxdx=a∫2πn+πsinxxe−αxdx+b∫asinxxe−αxdx+2πn+2π∫bsinxxe−αxdx, a∫2πn+πsinxxe−αxdx⩽0,2πn+2π∫bsinxxe−αxdx⩽0, значит, 0⩾b∫asinxxe−αxdx⩾2πn+2π∫2πn+πsinxxe−αxdx⩾−22πn+πe−α(2πn+π). 0⩽−b∫asinxxe−αxdx⩽22πn+πe−α(2πn+π)⩽22πn+π⩽1πn |b∫asinxxe−αxdx|⩽1πn.
3) 2πn⩽a⩽2πn+π⩽b⩽2π(n+1)
Используя случай 1), b∫asinxxe−αxdx=2πn+π∫asinxxe−αxdx+b∫2πn+πsinxxe−αxdx⩽2πn+π∫asinxxe−αxdx⩽1πn
Используя случай 2), b∫asinxxe−αxdx=2πn+π∫asinxxe−αxdx+b∫2πn+πsinxxe−αxdx⩾b∫2πn+πsinxxe−αxdx⩾−1πn Таким образом, −1πn⩽b∫asinxxe−αxdx⩽1πn, |b∫asinxxe−αxdx|⩽1πn, что, как мы видим, выполняется во всех трёх случаях.
Рассмотрим теперь интеграл b2∫b1sinxxe−αxdx. Найдем числа n и n+m, так что n – ближайшее натуральное число, следующее за b12π, а n+m – ближайшее натуральное число, предшествующее b22π, чтобы b1⩽2πn⩽2π(n+m)⩽b2. Тогда b2∫b1sinxxe−αxdx=2πn∫b1sinxxe−αxdx+2π(n+m)∫2πnsinxxe−αxdx+b2∫2π(n+m)sinxxe−αxdx |b2∫b1sinxxe−αxdx|⩽|2πn∫b1sinxxe−αxdx|+|2π(n+m)∫2πnsinxxe−αxdx|+|b2∫2π(n+m)sinxxe−αxdx|⩽3πn. 3πn<ε 2πn>6ε, для чего положим B>6ε: 6ε<B<b1<2πn Таким образом, для всякого ε>0 существует B=6ε+1, после которого |b2∫b1sinxxe−αxdx|⩽3πn<ε. Следовательно, исходный интеграл сходится по критерию Коши.