Основы мы проходили в начале первого курса, так что начало объясню пунктирно.
1. Комплексные числа
Комплексным числом называется пара вещественных чисел, из которых первое называется действительной частью, второе – мнимой частью комплексного числа. Два комплексных числа называются равными, когда равны их действительные и мнимые части. Комплексные числа отображаются точками на комплексной плоскости.

Действительную и мнимую части можно выразить через полярные координаты на той же плоскости z=(x,y)=(rcosφ,rsinφ)
2. Арифметика
Арифметические операции сложения и умножения чисел z=(x,y) и w=(u,v) определены так: z+w=(x+u,y+v), z⋅w=(xu−yv,xv+yu). Умножение комплексного числа на вещественное происходит по векторному принципу: умножается каждый компонент αz=α(x,y)=(αx,αy). Числа с нулевой мнимой частью считаются вещественными. Число (0,1)≡i, обладающее свойством i2=−1, называется мнимой единицей, и это позволяет записать комплексное число так: z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+(0,1)y=x+iy. Последняя форма записи называется алгебраической формой комплексного числа. В полярных координатах записывается тригонометрическая форма: z=(rcosφ,rsinφ)=r(cosφ+isinφ). Вычитание, очевидно, определяется так: z−w=(x−u,y−v). Сложнее с делением. Частное определяется как число, которое при умножении на делитель даёт делимое, но из этого неясно, откуда его брать. Поделить комплексное число можно на вещественное: zα=(xα,yα),α∈R. Также из определения следует, что если мы умножим делимое и делитель на один и тот же множитель, частное не изменится. Можно воспользоваться этим свойством, и домножить на ˉw=(u,−v) (число, сопряжённое к w) : zw=zˉwwˉw, после чего, так как wˉw=u2+v2∈R, задача сведётся к предыдущему случаю.
Удобнее, однако, умножать и делить в тригонометрической форме. При z=r(cosφ+isinφ), w=ρ(cosψ+isinψ) z⋅w=rρ(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)), zw=rρ(cos(φ−ψ)+isin(φ−ψ)).
Зная процедуры умножения и деления, мы можем расширить на комплексные числа обычные определения целой степени: z0=1,zn=z⋅z⋅⋯⋅z=rn(cosnφ+isinnφ), z−n=1zn=r−n(cos(−nφ)+isin(−nφ))=r−n(cosnφ−isinnφ). Задание: Даишев, Кузнецова № 1.1, 1.2, 1.3
3. Корни
Числа w называются корнями степени n из z, если wn=z, ρn(cosnψ+isinnψ)=r(cosφ+isinφ), {ρncosnψ=rcosφ,ρnsinnψ=rsinφ. Возведя оба уравнения в квадрат и сложив, получим ρ2n=r2, ρ=n√r. Подставив это в систему, получим {cosnψ=cosφsinnψ=sinφ⟹{−2sinnψ−φ2sinnψ+φ2=02sinnψ−φ2cosnψ+φ2=0 откуда либо sinnψ−φ2=0,nψ−φ2=πk,ψ=φ+2πkn,k∈Z либо {sinnψ+φ2=0,cosnψ+φ2=0, что не выполняется одновременно ни при каких углах. В итоге, wk=n√r(cosφ+2πkn+isinφ+2πkn). k – целое число, однако перебрав множество k=0…n−1, мы получим всё множество различных корней, выход же за пределы этого множества дополнительных новых корней нам не даст.
Даишев, Кузнецова № 1.6 п.4 Решить уравнение z6=64=26⋅ei⋅0. В обозначениях, принятых выше, n=6,r=26,φ=0. Тогда ρ=6√r=2,ψ=0+2πk6=πk3,k=0…5. Теперь переберём значения k, и для каждого найдём сначала ψk, а потом и искомый корень wk: ψ0=π⋅03=0,w0=ρeiψ0=2e0=2 ψ1=π⋅13=π3,w1=2eiπ3=2(cosπ3+isinπ3)=2(12+i√32)=1+i√3 ψ2=π⋅23=2π3,w2=2ei2π3=2(cos2π3+isin2π3)=2(−12+i√32)=−1+i√3 ψ3=π⋅33=π,w3=2eiπ=−2 ψ4=π⋅43=π+π3,w4=2(−cosπ3−isinπ3)=−2(12+i√32)=−1−i√3 ψ5=π⋅53=2π−π3,w5=2(cosπ3−isinπ3)=2(12−i√32)=1−i√3 Получившиеся корни отмечены на плоскости ниже; можно заметить, что они образуют вершины правильного шестиугольника. Верно это и в произвольном случае: корни степени n образуют вершины правильного n-угольника с центром в начале координат.

Задание: Даишев, Кузнецова № 1.6
4. Экспонента
Из обычного мат.анализа известны разложения следующих функций: ex=∞∑n=0xnn!, cosx=∞∑k=0(−1)k(2k)!x2k,sinx=∞∑k=0(−1)k(2k+1)!x2k+1. Эти ряды сходятся на всей числовой оси. При помощи соответствующего ряда определяется экспонента комплексного числа: ez≡∞∑n=0znn!, Докажем, что определённая таким образом экспонента обладает одним привычным свойством: ez+w≡∞∑n=0(z+w)nn!=∞∑n=01n!n∑k=0Cknzn−kwk=∞∑n=0n∑k=01(n−k)!k!zn−kwk= n−k=m =∞∑k=0∞∑n=k1(n−k)!k!zn−kwk=∞∑k=0∞∑m=01m!k!zmwk=∞∑k=0wkk!∞∑m=0zmm!=ezew Пользуясь этим, можно сказать, что ez=ex+iy=exeiy. Но eiy=∞∑n=0(iy)nn!=∞∑k=0{(iy)2k(2k)!+(iy)2k+1(2k+1)!}=∞∑k=0(iy)2k(2k)!+∞∑k=0(iy)2k+1(2k+1)!= =∞∑k=0i2k(2k)!y2k+∞∑k=0i2k+1(2k+1)!y2k+1=∞∑k=0(−1)k(2k)!y2k+i∞∑k=0(−1)k(2k+1)!y2k+1=cosy+isiny. Итак, ez=ex(cosy+isiny). С таким определением связана ещё одна форма комплексного числа – показательная: z=r(cosφ+isinφ)=reiφ Пользуясь расширенным определением функции ez, можно обычным образом определить гиперболические функции. Можно переопределить и тригонометрические. Заметим, что если eiφ=cosφ+isinφ и e−iφ=cosφ−isinφ, то сложив и вычтя эти два равенства, мы сможем получить, что cosφ=eiφ+e−iφ2,sinφ=eiφ−e−iφ2i. Эти формулы используем как определения для более широкого случая: cosz=eiz+e−iz2,sinz=eiz−e−iz2i. Задание: Даишев, Кузнецова № 2.10; 2.11 п. 1,2,3)
5. Логарифмы и аркфункции
Рассмотрим терерь уравнение ew=z, в котором z считается известным числом, а w – искомой переменной. Если записать z в показательной форме, а w – в алгебраической, eu+iv=reiφ, откуда, по соображениям аналогичным таковым для корней, eu=r,u=lnr, v=φ+2πk,k∈Z. Множество значений w=u+iv=lnr+i(φ+2πk),k∈Z бесконечно, и на комплексной плоскости располагается на вертикальной оси. Это множество обозначается Lnz и называется логарифмом: Lnz=ln|z|+i(argz+2πk),k∈Z. Однозначная функция из этого семейства, получающаяся при к=0, называется главным значением логарифма и пишется с маленькой буквы: lnz=ln|z|+iargz.
Даишев, Кузнецова № 2.11 п.4 Ln(−1)=Ln(1⋅eiπ)=ln1+i(π+2πk)=iπ(2k+1),k∈Z.
Задание: Даишев, Кузнецова № 2.11 п. 5,6.
Зная определение логарифма, можно получить многозначные функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим. Рассмотрим, например, арксинус sinw=z eiw−e−iw2i=z|⋅2ieiw (eiw)2−2izeiw−1=0 eiw=iz±√1−z2 w≡Arcsinz=−iLn(iz±√1−z2)
Даишев, Кузнецова № 2.12 п.1 Arcsini=−iLn(ii±√1−i2)=−iLn(−1±√1−(−1))=−iLn(±√2−1) Оба варианта (+ и -) мы сейчас и рассмотрим
+) √2−1>0, |√2−1|=√2−1, √2−1=(√2−1)(√2+1)(√2+1)=2−1(√2+1)=1√2+1 Arcsini=−iLn(√2−1)=−i(ln(√2−1)+2πik)=2πk−iln(1√2+1)=2πk+iln(√2+1),
-) −√2−1<0, |−√2−1|=√2+1 Arcsini=−iLn(−√2−1)=−i(ln(√2+1)+i(π+2πk))=(π+2πk)−iln(√2+1). Как располагаются полученные значения на плоскости - показано ниже.

Задание: Даишев, Кузнецова № 2.12 п. 2,3