Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

02.11.2021

Задания и материалы для дистанционного занятия гр. 06-061 в 11:50 в вт. 2.11.2021 (Даишев, Кузнецова № 1.6 п.4, 2.11 п.4, 2.12 п.1)

Основы мы проходили в начале первого курса, так что начало объясню пунктирно.

1. Комплексные числа

Комплексным числом называется пара вещественных чисел, из которых первое называется действительной частью, второе – мнимой частью комплексного числа. Два комплексных числа называются равными, когда равны их действительные и мнимые части. Комплексные числа отображаются точками на комплексной плоскости.

рис. 1

Действительную и мнимую части можно выразить через полярные координаты на той же плоскости z=(x,y)=(rcosφ,rsinφ)

2. Арифметика

Арифметические операции сложения и умножения чисел z=(x,y) и w=(u,v) определены так: z+w=(x+u,y+v), zw=(xuyv,xv+yu). Умножение комплексного числа на вещественное происходит по векторному принципу: умножается каждый компонент αz=α(x,y)=(αx,αy). Числа с нулевой мнимой частью считаются вещественными. Число (0,1)i, обладающее свойством i2=1, называется мнимой единицей, и это позволяет записать комплексное число так: z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+(0,1)y=x+iy. Последняя форма записи называется алгебраической формой комплексного числа. В полярных координатах записывается тригонометрическая форма: z=(rcosφ,rsinφ)=r(cosφ+isinφ). Вычитание, очевидно, определяется так: zw=(xu,yv). Сложнее с делением. Частное определяется как число, которое при умножении на делитель даёт делимое, но из этого неясно, откуда его брать. Поделить комплексное число можно на вещественное: zα=(xα,yα),αR. Также из определения следует, что если мы умножим делимое и делитель на один и тот же множитель, частное не изменится. Можно воспользоваться этим свойством, и домножить на ˉw=(u,v) (число, сопряжённое к w) : zw=zˉwwˉw, после чего, так как wˉw=u2+v2R, задача сведётся к предыдущему случаю.

Удобнее, однако, умножать и делить в тригонометрической форме. При z=r(cosφ+isinφ), w=ρ(cosψ+isinψ) zw=rρ(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)), zw=rρ(cos(φψ)+isin(φψ)).

Зная процедуры умножения и деления, мы можем расширить на комплексные числа обычные определения целой степени: z0=1,zn=zzz=rn(cosnφ+isinnφ), zn=1zn=rn(cos(nφ)+isin(nφ))=rn(cosnφisinnφ). Задание: Даишев, Кузнецова № 1.1, 1.2, 1.3

3. Корни

Числа w называются корнями степени n из z, если wn=z, ρn(cosnψ+isinnψ)=r(cosφ+isinφ), {ρncosnψ=rcosφ,ρnsinnψ=rsinφ. Возведя оба уравнения в квадрат и сложив, получим ρ2n=r2, ρ=nr. Подставив это в систему, получим {cosnψ=cosφsinnψ=sinφ{2sinnψφ2sinnψ+φ2=02sinnψφ2cosnψ+φ2=0 откуда либо sinnψφ2=0,nψφ2=πk,ψ=φ+2πkn,kZ либо {sinnψ+φ2=0,cosnψ+φ2=0, что не выполняется одновременно ни при каких углах. В итоге, wk=nr(cosφ+2πkn+isinφ+2πkn). k – целое число, однако перебрав множество k=0n1, мы получим всё множество различных корней, выход же за пределы этого множества дополнительных новых корней нам не даст.

Даишев, Кузнецова № 1.6 п.4 Решить уравнение z6=64=26ei0. В обозначениях, принятых выше, n=6,r=26,φ=0. Тогда ρ=6r=2,ψ=0+2πk6=πk3,k=05. Теперь переберём значения k, и для каждого найдём сначала ψk, а потом и искомый корень wk: ψ0=π03=0,w0=ρeiψ0=2e0=2 ψ1=π13=π3,w1=2eiπ3=2(cosπ3+isinπ3)=2(12+i32)=1+i3 ψ2=π23=2π3,w2=2ei2π3=2(cos2π3+isin2π3)=2(12+i32)=1+i3 ψ3=π33=π,w3=2eiπ=2 ψ4=π43=π+π3,w4=2(cosπ3isinπ3)=2(12+i32)=1i3 ψ5=π53=2ππ3,w5=2(cosπ3isinπ3)=2(12i32)=1i3 Получившиеся корни отмечены на плоскости ниже; можно заметить, что они образуют вершины правильного шестиугольника. Верно это и в произвольном случае: корни степени n образуют вершины правильного n-угольника с центром в начале координат.

рис. 2

Задание: Даишев, Кузнецова № 1.6

4. Экспонента

Из обычного мат.анализа известны разложения следующих функций: ex=n=0xnn!, cosx=k=0(1)k(2k)!x2k,sinx=k=0(1)k(2k+1)!x2k+1. Эти ряды сходятся на всей числовой оси. При помощи соответствующего ряда определяется экспонента комплексного числа: ezn=0znn!, Докажем, что определённая таким образом экспонента обладает одним привычным свойством: ez+wn=0(z+w)nn!=n=01n!nk=0Cknznkwk=n=0nk=01(nk)!k!znkwk= nk=m =k=0n=k1(nk)!k!znkwk=k=0m=01m!k!zmwk=k=0wkk!m=0zmm!=ezew Пользуясь этим, можно сказать, что ez=ex+iy=exeiy. Но eiy=n=0(iy)nn!=k=0{(iy)2k(2k)!+(iy)2k+1(2k+1)!}=k=0(iy)2k(2k)!+k=0(iy)2k+1(2k+1)!= =k=0i2k(2k)!y2k+k=0i2k+1(2k+1)!y2k+1=k=0(1)k(2k)!y2k+ik=0(1)k(2k+1)!y2k+1=cosy+isiny. Итак, ez=ex(cosy+isiny). С таким определением связана ещё одна форма комплексного числа – показательная: z=r(cosφ+isinφ)=reiφ Пользуясь расширенным определением функции ez, можно обычным образом определить гиперболические функции. Можно переопределить и тригонометрические. Заметим, что если eiφ=cosφ+isinφ и eiφ=cosφisinφ, то сложив и вычтя эти два равенства, мы сможем получить, что cosφ=eiφ+eiφ2,sinφ=eiφeiφ2i. Эти формулы используем как определения для более широкого случая: cosz=eiz+eiz2,sinz=eizeiz2i. Задание: Даишев, Кузнецова № 2.10; 2.11 п. 1,2,3)

5. Логарифмы и аркфункции

Рассмотрим терерь уравнение ew=z, в котором z считается известным числом, а w – искомой переменной. Если записать z в показательной форме, а w – в алгебраической, eu+iv=reiφ, откуда, по соображениям аналогичным таковым для корней, eu=r,u=lnr, v=φ+2πk,kZ. Множество значений w=u+iv=lnr+i(φ+2πk),kZ бесконечно, и на комплексной плоскости располагается на вертикальной оси. Это множество обозначается Lnz и называется логарифмом: Lnz=ln|z|+i(argz+2πk),kZ. Однозначная функция из этого семейства, получающаяся при к=0, называется главным значением логарифма и пишется с маленькой буквы: lnz=ln|z|+iargz.

Даишев, Кузнецова № 2.11 п.4 Ln(1)=Ln(1eiπ)=ln1+i(π+2πk)=iπ(2k+1),kZ.

Задание: Даишев, Кузнецова № 2.11 п. 5,6.

Зная определение логарифма, можно получить многозначные функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим. Рассмотрим, например, арксинус sinw=z eiweiw2i=z|2ieiw (eiw)22izeiw1=0 eiw=iz±1z2 wArcsinz=iLn(iz±1z2)

Даишев, Кузнецова № 2.12 п.1 Arcsini=iLn(ii±1i2)=iLn(1±1(1))=iLn(±21) Оба варианта (+ и -) мы сейчас и рассмотрим

+) 21>0, |21|=21, 21=(21)(2+1)(2+1)=21(2+1)=12+1 Arcsini=iLn(21)=i(ln(21)+2πik)=2πkiln(12+1)=2πk+iln(2+1),

-) 21<0, |21|=2+1 Arcsini=iLn(21)=i(ln(2+1)+i(π+2πk))=(π+2πk)iln(2+1). Как располагаются полученные значения на плоскости - показано ниже.

рис. 3

Задание: Даишев, Кузнецова № 2.12 п. 2,3

Комментариев нет »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post.

Leave a comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хостингом угостил Вадим "Moose" Калинников