Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

С последней публикации в этом разделе прошло без десяти дней десять лет. Что ж, можно возобновить.

(%i1)

sys:[    ‘diff(x,t)=y+2·exp(t),    ‘diff(y,t)=x+t^2 ];

$$\operatorname{(sys) }\left[ \frac{d}{d t} x=y+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x+{{t}^{2}}\right]$$

Система объявлена, можем начинать решать. Сначала выделим однородную систему

(%i2)

sys,x=0,y=0;

$$\operatorname{ }\left[ 0=2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}0={{t}^{2}}\right]$$

(%i3)

sys−%;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} x=y\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x\right]$$

(%i4)

%,x=x0,y=y0;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \mathrm{x0}=\mathrm{y0}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \mathrm{y0}=\mathrm{x0}\right]$$

(%i5)

osys:%$

Выделим правые части

(%i6)

map(rhs,osys);

$$\operatorname{ }\left[ \mathrm{y0}\operatorname{,}\mathrm{x0}\right]$$

составим матрицу коэффициентов

(%i7)

coefmatrix(%,[x0,y0]);

$$\operatorname{ }\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$

и найдём её собственные значения и векторы

(%i8)

eigenvectors(%);

$$\operatorname{ }\left[ \left[ \left[ -1\operatorname{,}1\right] \operatorname{,}\left[ 1\operatorname{,}1\right] \right] \operatorname{,}\left[ \left[ \left[ 1\operatorname{,}-1\right] \right] \operatorname{,}\left[ \left[ 1\operatorname{,}1\right] \right] \right] \right]$$

Тут первый элемент состоит из списка собственных чисел и их списка кратностей, а второй — это список наборов независимых собственных векторов, принадлежащих каждому из собственных значений. Соорудим из полученного решения однородной системы:

(%i9)

C[1]·%[2][1][1]·exp(%[1][1][1]·t)+ C[2]·%[2][2][1]·exp(%[1][1][2]·t) ;

$$\operatorname{ }\left[ {C_2} {{\% e}^{t}}+{C_1} {{\% e}^{-t}}\operatorname{,}{C_2} {{\% e}^{t}}-{C_1} {{\% e}^{-t}}\right]$$

(%i10)

[x0=%[1],y0=%[2]];

$$\operatorname{ }\left[ \mathrm{x0}={C_2} {{\% e}^{t}}+{C_1} {{\% e}^{-t}}\operatorname{,}\mathrm{y0}={C_2} {{\% e}^{t}}-{C_1} {{\% e}^{-t}}\right]$$

(%i11)

ois:%$

Теперь выделим первую из неоднородных систем — с экспонентой:

(%i12)

sys,t^2=0;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} x=y+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x\right]$$

(%i13)

%,x=x1,y=y1;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \mathrm{x1}=\mathrm{y1}+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \mathrm{y1}=\mathrm{x1}\right]$$

(%i14)

nsys:%$

Так как $\gamma$ — корень кратности 1, общий вид решения запишем так:

(%i15)

nis11:[    x1=(a·t+b)·exp(t),    y1=(c·t+d)·exp(t) ];

$$\operatorname{(nis11) }\left[ \mathrm{x1}=\left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\mathrm{y1}=\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}\right]$$

Подставим решение в таком виде в соответствующую систему

(%i16)

nsys,nis11;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \left( \left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\right) =\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \left( \left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}\right) =\left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\right]$$

произведём дифференцирование, сократим на экспоненту и раскроем скобки

(%i17)

%,diff;

$$\operatorname{ }\left[ \left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}+a {{\% e}^{t}}=\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+c {{\% e}^{t}}=\left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\right]$$

(%i18)

%/exp(t);

$$\operatorname{ }\left[ {{\% e}^{-t}} \left( \left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}+a {{\% e}^{t}}\right) ={{\% e}^{-t}} \left( \left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+2 {{\% e}^{t}}\right) \operatorname{,}{{\% e}^{-t}} \left( \left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+c {{\% e}^{t}}\right) =a t+b\right]$$

(%i19)

expand(%);

$$\operatorname{ }\left[ a t+b+a=c t+d+2\operatorname{,}c t+d+c=a t+b\right]$$

Эти уравнения должны соблюдаться тождественно, в том числе при t=1 и t=0. Подставим эти значения, полученные системы объединим в одну и решим, найдя коэффициенты:

(%i20)

[ev(%,t=0),ev(%,t=1)];

$$\operatorname{ }\left[ \left[ b+a=d+2\operatorname{,}d+c=b\right] \operatorname{,}\left[ b+2 a=d+c+2\operatorname{,}d+2 c=b+a\right] \right]$$

(%i21)

flatten(%);

$$\operatorname{ }\left[ b+a=d+2\operatorname{,}d+c=b\operatorname{,}b+2 a=d+c+2\operatorname{,}d+2 c=b+a\right]$$

(%i22)

solve(%,[a,b,c,d]);

solve: dependent equations eliminated: (4)

$$\operatorname{ }\left[ \left[ a=1\operatorname{,}b=\mathrm{\% r1}+1\operatorname{,}c=1\operatorname{,}d=\mathrm{\% r1}\right] \right]$$

Подставим эти коэффициенты в решение, зададим значение произвольных параметров и сохраним полученное на будущее:

(%i23)

nis11,%;

$$\operatorname{ }\left[ \mathrm{x1}=\left( t+\mathrm{\% r1}+1\right) {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\mathrm{y1}=\left( t+\mathrm{\% r1}\right) {{\% e}^{t}}\right]$$

(%i24)

%,%r1=0;

$$\operatorname{ }\left[ \mathrm{x1}=\left( t+1\right) {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\mathrm{y1}=t {{\% e}^{t}}\right]$$

(%i25)

nis1:%$

Теперь решим вторую неоднородную систему, с квадратом:

(%i26)

sys,exp(t)=0;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} x=y\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x+{{t}^{2}}\right]$$

(%i27)

%,x=x2,y=y2;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \mathrm{x2}=\mathrm{y2}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \mathrm{y2}=\mathrm{x2}+{{t}^{2}}\right]$$

(%i28)

nsys2:%$

Решение будем искать в виде полиномов второй степени:

(%i29)

nis21:[    x2=a·t^2+b·t+c,    y2=d·t^2+e·t+f ];

$$\operatorname{(nis21) }\left[ \mathrm{x2}=a {{t}^{2}}+b t+c\operatorname{,}\mathrm{y2}=d {{t}^{2}}+e t+f\right]$$

Процесс нахождения коэффициентов аналогичен таковому для первой неоднородной системы.

(%i30)

nsys2,nis21;

$$\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \left( a {{t}^{2}}+b t+c\right) =d {{t}^{2}}+e t+f\operatorname{,}\frac{d}{d t} \left( d {{t}^{2}}+e t+f\right) =a {{t}^{2}}+{{t}^{2}}+b t+c\right]$$

(%i31)

%,diff;

$$\operatorname{ }\left[ 2 a t+b=d {{t}^{2}}+e t+f\operatorname{,}2 d t+e=a {{t}^{2}}+{{t}^{2}}+b t+c\right]$$

(%i32)

[ev(%,t=0),ev(%,t=1)];

$$\operatorname{ }\left[ \left[ b=f\operatorname{,}e=c\right] \operatorname{,}\left[ b+2 a=f+e+d\operatorname{,}e+2 d=c+b+a+1\right] \right]$$

(%i33)

flatten(%);

$$\operatorname{ }\left[ b=f\operatorname{,}e=c\operatorname{,}b+2 a=f+e+d\operatorname{,}e+2 d=c+b+a+1\right]$$

(%i34)

solve(%,[a,b,c,d,e,f]);

$$\operatorname{ }\left[ \left[ a={\mathrm{\% r2}}\operatorname{,}b={\mathrm{\% r3}}\operatorname{,}c=\frac{-{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1}{2}\operatorname{,}d=\frac{{\mathrm{\% r3}}+{\mathrm{\% r2}}+1}{2}\operatorname{,}e=\frac{-{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1}{2}\operatorname{,}f={\mathrm{\% r3}}\right] \right]$$

(%i35)

nis21,%;

$$\operatorname{ }\left[ {\mathrm{x2}}={\mathrm{\% r2}} {{t}^{2}}+{\mathrm{\% r3}} t+\frac{-{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1}{2}\operatorname{,}{\mathrm{y2}}=\frac{\left( {\mathrm{\% r3}}+{\mathrm{\% r2}}+1\right) {{t}^{2}}}{2}+\frac{\left( -{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1\right) t}{2}+{\mathrm{\% r3}}\right]$$

(%i36)

%,%r2=0,%r3=0;

$$\operatorname{ }\left[ {\mathrm{x2}}=-\frac{1}{2}\operatorname{,}{\mathrm{y2}}=\frac{{{t}^{2}}}{2}-\frac{t}{2}\right]$$

(%i37)

nis2:%$

Наконец, сложим общее решение однородной системы и два частных решения неоднородных, и получим ответ:

(%i38)

[    x=x0+x1+x2,    y=y0+y1+y2 ];

$$\operatorname{ }\left[ x={\mathrm{x2}}+{\mathrm{x1}}+{\mathrm{x0}}\operatorname{,}y={\mathrm{y2}}+{\mathrm{y1}}+{\mathrm{y0}}\right]$$

(%i39)

%,ois,nis1,nis2;

$$\operatorname{ }\left[ x=\left( t+1\right) {{\% e}^{t}}+{C_2} {{\% e}^{t}}+{C_1} {{\% e}^{-t}}-\frac{1}{2}\operatorname{,}y=t {{\% e}^{t}}+{C_2} {{\% e}^{t}}-{C_1} {{\% e}^{-t}}+\frac{{{t}^{2}}}{2}-\frac{t}{2}\right]$$