С последней публикации в этом разделе прошло без десяти дней десять лет. Что ж, можно возобновить.
|
(%i1) |
sys:[ ‘diff(x,t)=y+2·exp(t), ‘diff(y,t)=x+t^2 ]; |
\[\operatorname{(sys) }\left[ \frac{d}{d t} x=y+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x+{{t}^{2}}\right] \]
Система объявлена, можем начинать решать. Сначала выделим однородную систему
|
(%i2) |
sys,x=0,y=0; |
\[\operatorname{ }\left[ 0=2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}0={{t}^{2}}\right] \]
|
(%i3) |
sys−%; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} x=y\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x\right] \]
|
(%i4) |
%,x=x0,y=y0; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \mathrm{x0}=\mathrm{y0}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \mathrm{y0}=\mathrm{x0}\right] \]
|
(%i5) |
osys:%$ |
Выделим правые части
|
(%i6) |
map(rhs,osys); |
\[\operatorname{ }\left[ \mathrm{y0}\operatorname{,}\mathrm{x0}\right] \]
составим матрицу коэффициентов
|
(%i7) |
coefmatrix(%,[x0,y0]); |
\[\operatorname{ }\begin{pmatrix}0 & 1\\
1 & 0\end{pmatrix}\]
и найдём её собственные значения и векторы
|
(%i8) |
eigenvectors(%); |
\[\operatorname{ }\left[ \left[ \left[ -1\operatorname{,}1\right] \operatorname{,}\left[ 1\operatorname{,}1\right] \right] \operatorname{,}\left[ \left[ \left[ 1\operatorname{,}-1\right] \right] \operatorname{,}\left[ \left[ 1\operatorname{,}1\right] \right] \right] \right] \]
Тут первый элемент состоит из списка собственных чисел и их списка кратностей, а второй — это список наборов независимых собственных векторов, принадлежащих каждому из собственных значений. Соорудим из полученного решения однородной системы:
|
(%i9) |
C[1]·%[2][1][1]·exp(%[1][1][1]·t)+ C[2]·%[2][2][1]·exp(%[1][1][2]·t) ; |
\[\operatorname{ }\left[ {C_2} {{\% e}^{t}}+{C_1} {{\% e}^{-t}}\operatorname{,}{C_2} {{\% e}^{t}}-{C_1} {{\% e}^{-t}}\right] \]
|
(%i10) |
[x0=%[1],y0=%[2]]; |
\[\operatorname{ }\left[ \mathrm{x0}={C_2} {{\% e}^{t}}+{C_1} {{\% e}^{-t}}\operatorname{,}\mathrm{y0}={C_2} {{\% e}^{t}}-{C_1} {{\% e}^{-t}}\right] \]
|
(%i11) |
ois:%$ |
Теперь выделим первую из неоднородных систем — с экспонентой:
|
(%i12) |
sys,t^2=0; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} x=y+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x\right] \]
|
(%i13) |
%,x=x1,y=y1; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \mathrm{x1}=\mathrm{y1}+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \mathrm{y1}=\mathrm{x1}\right] \]
|
(%i14) |
nsys:%$ |
Так как \(\gamma \) — корень кратности 1, общий вид решения запишем так:
|
(%i15) |
nis11:[ x1=(a·t+b)·exp(t), y1=(c·t+d)·exp(t) ]; |
\[\operatorname{(nis11) }\left[ \mathrm{x1}=\left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\mathrm{y1}=\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}\right] \]
Подставим решение в таком виде в соответствующую систему
|
(%i16) |
nsys,nis11; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \left( \left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\right) =\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \left( \left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}\right) =\left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\right] \]
произведём дифференцирование, сократим на экспоненту и раскроем скобки
|
(%i17) |
%,diff; |
\[\operatorname{ }\left[ \left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}+a {{\% e}^{t}}=\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+2 {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+c {{\% e}^{t}}=\left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}\right] \]
|
(%i18) |
%/exp(t); |
\[\operatorname{ }\left[ {{\% e}^{-t}} \left( \left( a t+b\right) {{\% e}^{t}}+a {{\% e}^{t}}\right) ={{\% e}^{-t}} \left( \left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+2 {{\% e}^{t}}\right) \operatorname{,}{{\% e}^{-t}} \left( \left( c t+d\right) {{\% e}^{t}}+c {{\% e}^{t}}\right) =a t+b\right] \]
|
(%i19) |
expand(%); |
\[\operatorname{ }\left[ a t+b+a=c t+d+2\operatorname{,}c t+d+c=a t+b\right] \]
Эти уравнения должны соблюдаться тождественно, в том числе при t=1 и t=0. Подставим эти значения, полученные системы объединим в одну и решим, найдя коэффициенты:
|
(%i20) |
[ev(%,t=0),ev(%,t=1)]; |
\[\operatorname{ }\left[ \left[ b+a=d+2\operatorname{,}d+c=b\right] \operatorname{,}\left[ b+2 a=d+c+2\operatorname{,}d+2 c=b+a\right] \right] \]
|
(%i21) |
flatten(%); |
\[\operatorname{ }\left[ b+a=d+2\operatorname{,}d+c=b\operatorname{,}b+2 a=d+c+2\operatorname{,}d+2 c=b+a\right] \]
|
(%i22) |
solve(%,[a,b,c,d]); |
solve: dependent equations eliminated: (4)
\[\operatorname{ }\left[ \left[ a=1\operatorname{,}b=\mathrm{\% r1}+1\operatorname{,}c=1\operatorname{,}d=\mathrm{\% r1}\right] \right] \]
Подставим эти коэффициенты в решение, зададим значение произвольных параметров и сохраним полученное на будущее:
|
(%i23) |
nis11,%; |
\[\operatorname{ }\left[ \mathrm{x1}=\left( t+\mathrm{\% r1}+1\right) {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\mathrm{y1}=\left( t+\mathrm{\% r1}\right) {{\% e}^{t}}\right] \]
|
(%i24) |
%,%r1=0; |
\[\operatorname{ }\left[ \mathrm{x1}=\left( t+1\right) {{\% e}^{t}}\operatorname{,}\mathrm{y1}=t {{\% e}^{t}}\right] \]
|
(%i25) |
nis1:%$ |
Теперь решим вторую неоднородную систему, с квадратом:
|
(%i26) |
sys,exp(t)=0; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} x=y\operatorname{,}\frac{d}{d t} y=x+{{t}^{2}}\right] \]
|
(%i27) |
%,x=x2,y=y2; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \mathrm{x2}=\mathrm{y2}\operatorname{,}\frac{d}{d t} \mathrm{y2}=\mathrm{x2}+{{t}^{2}}\right] \]
|
(%i28) |
nsys2:%$ |
Решение будем искать в виде полиномов второй степени:
|
(%i29) |
nis21:[ x2=a·t^2+b·t+c, y2=d·t^2+e·t+f ]; |
\[\operatorname{(nis21) }\left[ \mathrm{x2}=a {{t}^{2}}+b t+c\operatorname{,}\mathrm{y2}=d {{t}^{2}}+e t+f\right] \]
Процесс нахождения коэффициентов аналогичен таковому для первой неоднородной системы.
|
(%i30) |
nsys2,nis21; |
\[\operatorname{ }\left[ \frac{d}{d t} \left( a {{t}^{2}}+b t+c\right) =d {{t}^{2}}+e t+f\operatorname{,}\frac{d}{d t} \left( d {{t}^{2}}+e t+f\right) =a {{t}^{2}}+{{t}^{2}}+b t+c\right] \]
|
(%i31) |
%,diff; |
\[\operatorname{ }\left[ 2 a t+b=d {{t}^{2}}+e t+f\operatorname{,}2 d t+e=a {{t}^{2}}+{{t}^{2}}+b t+c\right] \]
|
(%i32) |
[ev(%,t=0),ev(%,t=1)]; |
\[\operatorname{ }\left[ \left[ b=f\operatorname{,}e=c\right] \operatorname{,}\left[ b+2 a=f+e+d\operatorname{,}e+2 d=c+b+a+1\right] \right] \]
|
(%i33) |
flatten(%); |
\[\operatorname{ }\left[ b=f\operatorname{,}e=c\operatorname{,}b+2 a=f+e+d\operatorname{,}e+2 d=c+b+a+1\right] \]
|
(%i34) |
solve(%,[a,b,c,d,e,f]); |
\[\operatorname{ }\left[ \left[ a={\mathrm{\% r2}}\operatorname{,}b={\mathrm{\% r3}}\operatorname{,}c=\frac{-{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1}{2}\operatorname{,}d=\frac{{\mathrm{\% r3}}+{\mathrm{\% r2}}+1}{2}\operatorname{,}e=\frac{-{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1}{2}\operatorname{,}f={\mathrm{\% r3}}\right] \right] \]
|
(%i35) |
nis21,%; |
\[\operatorname{ }\left[ {\mathrm{x2}}={\mathrm{\% r2}} {{t}^{2}}+{\mathrm{\% r3}} t+\frac{-{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1}{2}\operatorname{,}{\mathrm{y2}}=\frac{\left( {\mathrm{\% r3}}+{\mathrm{\% r2}}+1\right) {{t}^{2}}}{2}+\frac{\left( -{\mathrm{\% r3}}+3 {\mathrm{\% r2}}-1\right) t}{2}+{\mathrm{\% r3}}\right] \]
|
(%i36) |
%,%r2=0,%r3=0; |
\[\operatorname{ }\left[ {\mathrm{x2}}=-\frac{1}{2}\operatorname{,}{\mathrm{y2}}=\frac{{{t}^{2}}}{2}-\frac{t}{2}\right] \]
|
(%i37) |
nis2:%$ |
Наконец, сложим общее решение однородной системы и два частных решения неоднородных, и получим ответ:
|
(%i38) |
[ x=x0+x1+x2, y=y0+y1+y2 ]; |
\[\operatorname{ }\left[ x={\mathrm{x2}}+{\mathrm{x1}}+{\mathrm{x0}}\operatorname{,}y={\mathrm{y2}}+{\mathrm{y1}}+{\mathrm{y0}}\right] \]
|
(%i39) |
%,ois,nis1,nis2; |
\[\operatorname{ }\left[ x=\left( t+1\right) {{\% e}^{t}}+{C_2} {{\% e}^{t}}+{C_1} {{\% e}^{-t}}-\frac{1}{2}\operatorname{,}y=t {{\% e}^{t}}+{C_2} {{\% e}^{t}}-{C_1} {{\% e}^{-t}}+\frac{{{t}^{2}}}{2}-\frac{t}{2}\right] \]
