Доказать, что $a$ является существенно особой точкой для функции \[ e^{\mathrm{tg}\,z},\quad a=\frac{\pi}{2} \] Закрываю дыры в доказательстве.
Предела у самой функции в точке $a$ не было, значит устранимой точка $a$ не является. Чтобы доказать отсутствие полюса, рассмотрим предел \[ \lim_{z\to\frac{\pi}{2}}e^{\mathrm{tg}\,z}\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^{k},\quad k\in\mathbb{N}. \]
Заменим $z-\frac{\pi}{2}=w$, $z=\frac{\pi}{2}+w$: \[ \lim_{z\to\frac{\pi}{2}}e^{\mathrm{tg}\,z}\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^{k}=\lim_{w\to0}e^{\mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2}+w\right)}w^{k}=\lim_{w\to0}e^{\mathrm{ctg}\,\left(-w\right)}w^{k}=\lim_{w\to0}e^{-\mathrm{ctg}\,w}w^{k} \] Введём переменную $\varepsilon\in\mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$, и рассмотрим два случая.
$w=\varepsilon$ (стремление $w$ к нулю справа): Так как \[ \lim_{\varepsilon\to0}\mathrm{ctg}\,\varepsilon=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\cos\varepsilon}{\sin\varepsilon}=\infty, \] то \[ \lim_{w\to+0}e^{-\mathrm{ctg}\,w}w^{k}=\lim_{\varepsilon\to0}e^{-\mathrm{ctg}\,\varepsilon}\varepsilon^{k}=0 \] $w=-\varepsilon$ (стремление $w$ к нулю слева): \[ \lim_{w\to-0}e^{-\mathrm{ctg}\,w}w^{k}=\lim_{\varepsilon\to0}e^{-\mathrm{ctg}\,\left(-\varepsilon\right)}\left(-\varepsilon\right)^{k}=\left(-1\right)^{k}\lim_{\varepsilon\to0}e^{\mathrm{ctg}\,\varepsilon}\varepsilon^{k}=\left(-1\right)^{k}\lim_{\varepsilon\to0}\frac{e^{\mathrm{ctg}\,\varepsilon}}{\mathrm{ctg}^{k}\,\varepsilon}\cdot\varepsilon^{k}\mathrm{ctg}^{k}\,\varepsilon \] Возьмём по отдельности пределы множителей. \[ \lim_{\varepsilon\to0}\varepsilon^{k}\mathrm{ctg}^{k}\,\varepsilon=\lim_{\varepsilon\to0}\left(\varepsilon\frac{\cos\varepsilon}{\sin\varepsilon}\right)^{k}=\lim_{\varepsilon\to0}\left(\frac{\varepsilon}{\sin\varepsilon}\cos\varepsilon\right)^{k}=\left(1\cdot1\right)^{k}=1; \] заменяя $\mathrm{ctg}\,\varepsilon=p$, получим \[ \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\mathrm{ctg}^{k}\,\varepsilon}{e^{\mathrm{ctg}\,\varepsilon}}=\lim_{p\to\infty}\frac{p^{k}}{e^{p}}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim_{\varepsilon\to0}\frac{e^{\mathrm{ctg}\,\varepsilon}}{\mathrm{ctg}^{k}\,\varepsilon}=\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim_{\varepsilon\to0}\frac{e^{\mathrm{ctg}\,\varepsilon}}{\mathrm{ctg}^{k}\,\varepsilon}\cdot\varepsilon^{k}\mathrm{ctg}^{k}\,\varepsilon=\infty \] (окончательный ответ зависит от чётности $k$)
Так как при стремлении $w$ к нулю с разных сторон получаются разные пределы, общего предела не существует, и это не зависит от $k$. Значит, полюсом точка $a$ тоже не является, и остаётся что она существенно особая.
