Вариант 3 №6
Вычислите \[ \cos10^{\circ}\sin20^{\circ}\sin70^{\circ}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}. \]
Как известно, \[ \cos\left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b, \] \[ \cos\left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b. \] Складывая эти две формулы и деля результат на 2, получим \[ \cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a-b\right)+\cos\left(a+b\right)\right], \] а вычитая - \[ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)\right]. \] Применяя второе, вычислим \[ \sin70^{\circ}\sin20^{\circ}=\frac{1}{2}\left[\cos\left(70^{\circ}-20^{\circ}\right)-{\cos\left(70^{\circ}+20^{\circ}\right)}\right]={\frac{1}{2}\left(\cos50^{\circ}-\cos90^{\circ}\right)}=\frac{1}{2}\cos50^{\circ}. \] Применяя первое, получим \[ \cos50^{\circ}\cos10^{\circ}=\frac{1}{2}\left[\cos\left(50^{\circ}-10^{\circ}\right)+{\cos\left(50^{\circ}+10^{\circ}\right)}\right]={\frac{1}{2}\left(\cos40^{\circ}+\cos60^{\circ}\right)}=\frac{1}{2}\left(\cos40^{\circ}+\frac{1}{2}\right). \] Тогда \[ \cos10^{\circ}\sin20^{\circ}\sin70^{\circ}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}=\frac{1}{2}\cos10^{\circ}\cos50^{\circ}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}=\frac{1}{4}\left(\cos40^{\circ}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}= \] \[ =\frac{1}{4}\cos40^{\circ}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}=\frac{1}{8}. \]
27.2 б)
Разложите на множители полином \[ x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+1. \] Разложим по биному \[ \left(x+1\right)^{4}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1. \] Заметим, что исходный полином содержит аналогичные первые два слагаемых. Дополним его до четвёртой степени \[ P=x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+1=\left(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1\right)-2x^{2}-4x=\left(x+1\right)^{4}-2x^{2}-4x=\left(x+1\right)^{4}-2x\left(x+2\right)= \] и заменим $x+1=y$, тогда $x=y-1$: \[ =y^{4}-2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=y^{4}-2\left(y^{2}-1\right)=y^{4}-2y^{2}+2= \] далее заменим $y^{2}=z$: \[ =z^{2}-2z+2. \] Найдём нули этого полинома из уравнения \[ z_{k}^{2}-2z_{k}+2=0: \] \[ z_{k}=1\pm\sqrt{1-2}=1\pm i. \] Теперь найдём $y=\sqrt{z}$. Для $z_{1}=1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ корни будут определяться по общей формуле \[ y_{1k}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}\right),\qquad k=0\dots1. \] \[ y_{10}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right), \] \[ y_{11}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}\right)=2^{1/4}\left[\cos\left(\frac{\pi}{8}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{8}+\pi\right)\right]=-2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right). \] Аналогично для $z_{2}=1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ \[ y_{2k}=2^{1/4}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}\right) \] Заметим, что мы получаем корни, сопряжённые к ранее найденным: \[ y_{20}=2^{1/4}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right]=2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}-i\sin\frac{\pi}{8}\right)=\overline{y_{10}}, \] \[ y_{21}=2^{1/4}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}\right)=2^{1/4}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{8}+\pi\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}+\pi\right)\right]=-2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}-i\sin\frac{\pi}{8}\right)=\overline{y_{11}}. \] Зная корни, разложим $P$ \[ P=y^{4}-2y^{2}+2=\left(y-y_{10}\right)\left(y-y_{11}\right)\left(y-y_{20}\right)\left(y-y_{21}\right)= \] \[ =\left(y-y_{10}\right)\left(y-y_{11}\right)\left(y-\overline{y_{10}}\right)\left(y-\overline{y_{11}}\right)= \] и перемножим сопряжённые множители: \[ =\left[\left(y-y_{10}\right)\left(y-\overline{y_{10}}\right)\right]\left[\left(y-y_{11}\right)\left(y-\overline{y_{11}}\right)\right]= \] \[ =\left[\left(y-2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}\right)^{2}+\left(2^{1/4}\sin\frac{\pi}{8}\right)^{2}\right]\left[\left(y+2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}\right)^{2}+\left(2^{1/4}\sin\frac{\pi}{8}\right)^{2}\right]= \] \[ =\left[y^{2}-2y2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\cos^{2}\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\sin^{2}\frac{\pi}{8}\right]\left[y^{2}+2y2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\cos^{2}\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\sin^{2}\frac{\pi}{8}\right]= \] \[ =\left[y^{2}-2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right]\left[y^{2}+2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right]. \] Осталось найти $\cos\frac{\pi}{8}$. Так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, $\cos\frac{\pi}{8} > 0$, а тогда \[ \cos^{2}\frac{\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}, \] \[ \cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}. \] Ещё немного вспомогательных вычислений: \[ 2^{5/4}=2\cdot2^{1/4}=2\sqrt{\sqrt{2}}, \] \[ 2^{5/4}\cos\frac{\pi}{8}=2\sqrt{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{2}\right)}=\sqrt{2\sqrt{2}+2}, \] результаты которых мы теперь подставим в полученное разложение \[ P=\left[y^{2}-2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right]\left[y^{2}+2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right]= \] \[ =\left(y^{2}-\sqrt{2\sqrt{2}+2}y+\sqrt{2}\right)\left(y^{2}+\sqrt{2\sqrt{2}+2}y+\sqrt{2}\right). \]
