Страница сетевой поддержки учеников Тимура Юрьевича Альпина

Вариант 3 №6

Вычислите $$\cos10^{\circ}\sin20^{\circ}\sin70^{\circ}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}.$$

Как известно, $$\cos\left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,$$ $$\cos\left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$ Складывая эти две формулы и деля результат на 2, получим $$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a-b\right)+\cos\left(a+b\right)\right],$$ а вычитая - $$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)\right].$$ Применяя второе, вычислим $$\sin70^{\circ}\sin20^{\circ}=\frac{1}{2}\left[\cos\left(70^{\circ}-20^{\circ}\right)-{\cos\left(70^{\circ}+20^{\circ}\right)}\right]={\frac{1}{2}\left(\cos50^{\circ}-\cos90^{\circ}\right)}=\frac{1}{2}\cos50^{\circ}.$$ Применяя первое, получим $$\cos50^{\circ}\cos10^{\circ}=\frac{1}{2}\left[\cos\left(50^{\circ}-10^{\circ}\right)+{\cos\left(50^{\circ}+10^{\circ}\right)}\right]={\frac{1}{2}\left(\cos40^{\circ}+\cos60^{\circ}\right)}=\frac{1}{2}\left(\cos40^{\circ}+\frac{1}{2}\right).$$ Тогда $$\cos10^{\circ}\sin20^{\circ}\sin70^{\circ}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}=\frac{1}{2}\cos10^{\circ}\cos50^{\circ}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}=\frac{1}{4}\left(\cos40^{\circ}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}=$$ $$=\frac{1}{4}\cos40^{\circ}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\cos40^{\circ}=\frac{1}{8}.$$

27.2 б)

Разложите на множители полином $$x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+1.$$ Разложим по биному $$\left(x+1\right)^{4}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1.$$ Заметим, что исходный полином содержит аналогичные первые два слагаемых. Дополним его до четвёртой степени $$P=x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+1=\left(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1\right)-2x^{2}-4x=\left(x+1\right)^{4}-2x^{2}-4x=\left(x+1\right)^{4}-2x\left(x+2\right)=$$ и заменим $x+1=y$, тогда $x=y-1$: $$=y^{4}-2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=y^{4}-2\left(y^{2}-1\right)=y^{4}-2y^{2}+2=$$ далее заменим $y^{2}=z$: $$=z^{2}-2z+2.$$ Найдём нули этого полинома из уравнения $$z_{k}^{2}-2z_{k}+2=0:$$ $$z_{k}=1\pm\sqrt{1-2}=1\pm i.$$ Теперь найдём $y=\sqrt{z}$. Для $z_{1}=1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ корни будут определяться по общей формуле $$y_{1k}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}\right),\qquad k=0\dots1.$$ $$y_{10}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right),$$ $$y_{11}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}\right)=2^{1/4}\left[\cos\left(\frac{\pi}{8}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{8}+\pi\right)\right]=-2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right).$$ Аналогично для $z_{2}=1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ $$y_{2k}=2^{1/4}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi k}{2}\right)$$ Заметим, что мы получаем корни, сопряжённые к ранее найденным: $$y_{20}=2^{1/4}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right]=2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}-i\sin\frac{\pi}{8}\right)=\overline{y_{10}},$$ $$y_{21}=2^{1/4}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{4}+2\pi}{2}\right)=2^{1/4}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{8}+\pi\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}+\pi\right)\right]=-2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}-i\sin\frac{\pi}{8}\right)=\overline{y_{11}}.$$ Зная корни, разложим $P$ $$P=y^{4}-2y^{2}+2=\left(y-y_{10}\right)\left(y-y_{11}\right)\left(y-y_{20}\right)\left(y-y_{21}\right)=$$ $$=\left(y-y_{10}\right)\left(y-y_{11}\right)\left(y-\overline{y_{10}}\right)\left(y-\overline{y_{11}}\right)=$$ и перемножим сопряжённые множители: $$=\left[\left(y-y_{10}\right)\left(y-\overline{y_{10}}\right)\right]\left[\left(y-y_{11}\right)\left(y-\overline{y_{11}}\right)\right]=$$ $$=\left[\left(y-2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}\right)^{2}+\left(2^{1/4}\sin\frac{\pi}{8}\right)^{2}\right]\left[\left(y+2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}\right)^{2}+\left(2^{1/4}\sin\frac{\pi}{8}\right)^{2}\right]=$$ $$=\left[y^{2}-2y2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\cos^{2}\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\sin^{2}\frac{\pi}{8}\right]\left[y^{2}+2y2^{1/4}\cos\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\cos^{2}\frac{\pi}{8}+2^{1/2}\sin^{2}\frac{\pi}{8}\right]=$$ $$=\left[y^{2}-2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right]\left[y^{2}+2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right].$$ Осталось найти $\cos\frac{\pi}{8}$. Так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, $\cos\frac{\pi}{8} > 0$, а тогда $$\cos^{2}\frac{\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4},$$ $$\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.$$ Ещё немного вспомогательных вычислений: $$2^{5/4}=2\cdot2^{1/4}=2\sqrt{\sqrt{2}},$$ $$2^{5/4}\cos\frac{\pi}{8}=2\sqrt{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{2}\right)}=\sqrt{2\sqrt{2}+2},$$ результаты которых мы теперь подставим в полученное разложение $$P=\left[y^{2}-2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right]\left[y^{2}+2^{5/4}y\cos\frac{\pi}{8}+\sqrt{2}\right]=$$ $$=\left(y^{2}-\sqrt{2\sqrt{2}+2}y+\sqrt{2}\right)\left(y^{2}+\sqrt{2\sqrt{2}+2}y+\sqrt{2}\right).$$