Вычислить (обещаный многострадальный) интеграл \[ \int\frac{x-\sqrt{x^{2}+3x+2}}{x+\sqrt{x^{2}+3x+2}}dx \]
При ближайшем рассмотрении оказалось, что относительно просто решается этот интеграл при замене типа 1а: \[ \sqrt{x^{2}+3x+2}=x+z \] (до этого я пытался взять $-x+z$) Тогда \[ z=\sqrt{x^{2}+3x+2}-x. \] Отсюда \[ \cancel{x^{2}}+3x+2=\cancel{x^{2}}+2xz+z^{2}, \] \[ 3x-2xz=z^{2}-2, \] \[ x=\frac{z^{2}-2}{3-2z}, \] \[ dx=\frac{2z\left(3-2z\right)+2\left(z^{2}-2\right)}{\left(3-2z\right)^{2}}dz=\frac{6z-4z^{2}+2z^{2}-4}{\left(3-2z\right)^{2}}dz=-2\frac{z^{2}-3z+2}{\left(3-2z\right)^{2}}dz=-2\frac{\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3-2z\right)^{2}}dz. \] Подставим полученное выше в исходный интеграл и упрощаем что можем: \[ \int\frac{x-\sqrt{x^{2}+3x+2}}{x+\sqrt{x^{2}+3x+2}}dx=-2\int\frac{x-\left(x+z\right)}{x+x+z}\frac{\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3-2z\right)^{2}}dz=2\int\frac{z}{2x+z}\frac{\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3-2z\right)^{2}}dz= \] \[ =2\int\frac{z}{2\frac{z^{2}-2}{3-2z}+z}\frac{\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3-2z\right)^{2}}dz=2\int\frac{z}{2\frac{z^{2}-2}{3-2z}\left(3-2z\right)+z\left(3-2z\right)}\frac{\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3-2z\right)}dz= \] \[ =2\int\frac{z}{3z-4}\frac{\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3-2z\right)}dz=-2\int\frac{z\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}dz. \] Знаменатель получается квадратичный, что хорошо. Но дробь неправильная, и нужно сначала делить: \[ \frac{z\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}=\frac{z^{3}-3z^{2}+2z}{6z^{2}-17z+12}=\frac{1}{6}\frac{6z^{3}-18z^{2}+12z}{6z^{2}-17z+12}=\frac{1}{6}\left(z-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\frac{17z-12}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}\right), \] и уже потом раскладывать правильную: \[ \frac{17z-12}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}=\frac{A}{3z-4}+\frac{B}{2z-3}=\frac{A\left(2z-3\right)+B\left(3z-4\right)}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}. \] Приравниваем числители: \[ 17z-12=A\left(2z-3\right)+B\left(3z-4\right)=2Az-3A+3Bz-4B=\left(2A+3B\right)z-3A-4B \] Приравниваем коэффициенты: \[ \left\{ \begin{array}{c} 2A+3B=17\\ -3A-4B=-12 \end{array}\right.\qquad\left\{ \begin{array}{c} 2A+3B=17\\ 3A+4B=12 \end{array}\right.\begin{array}{c} \left| \cdot (-1) \right.\\ \leftarrow \end{array} \] \[ A+B=-5 \] \[ B=27,\quad A=-5-B=-32 \] Подставляем $A$ и $B$ в разложение: \[ \frac{17z-12}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}=\frac{-32}{3z-4}+\frac{27}{2z-3}, \] тогда всё подынтегральное выражение раскладывается так: \[ \frac{z\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}=\frac{1}{6}\left[z-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(\frac{-32}{3z-4}+\frac{27}{2z-3}\right)\right]=\frac{1}{6}z-\frac{1}{36}+\frac{1}{9}\frac{8}{3z-4}-\frac{1}{4}\frac{3}{2z-3}. \] Отсюда становится ясно, что делать с исходным интегралом \[ \int\frac{x-\sqrt{x^{2}+3x+2}}{x+\sqrt{x^{2}+3x+2}}dx=-2\int\frac{z\left(z-2\right)\left(z-1\right)}{\left(3z-4\right)\left(2z-3\right)}dz=-2\int\left(\frac{1}{6}z-\frac{1}{36}+\frac{8}{9}\frac{1}{3z-4}-\frac{3}{4}\frac{1}{2z-3}\right)dz= \] \[ =-\frac{1}{6}z^{2}+\frac{1}{18}z-\frac{16}{27}\ln\left|3z-4\right|+\frac{3}{4}\ln\left|2z-3\right|+C= \] \[ =-\frac{1}{6}\left(\sqrt{x^{2}+3x+2}-x\right)^{2}+\frac{1}{18}\left(\sqrt{x^{2}+3x+2}-x\right)-\frac{16}{27}\ln\left|3\left(\sqrt{x^{2}+3x+2}-x\right)-4\right|+\frac{3}{4}\ln\left|2\left(\sqrt{x^{2}+3x+2}-x\right)-3\right|+C. \]
