Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой
\[
y=a\cos\frac{\pi x}{2b}
\]
вокруг оси $Ox$.
Найдём $y'$ и подставим в формулу для площади: \[ y'=-\frac{\pi a}{2b}\sin\frac{\pi x}{2b}, \] \[ S=2\pi\int\limits_{-b}^{b}y\sqrt{1+y'{}^{2}}dx=2\pi\int\limits_{-b}^{b}a\cos\frac{\pi x}{2b}\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}\sin^{2}\frac{\pi x}{2b}}dx= \] Заменим $x=\frac{2b}{\pi}\arcsin\frac{2b}{\pi a}t$. Тогда $\frac{\pi a}{2b}\sin\frac{\pi x}{2b}=t$, $\frac{\pi^{2}a}{4b^{2}}\cos\frac{\pi x}{2b}dx=dt$: \[ =2\pi a\frac{4b^{2}}{\pi^{2}a}\int\limits_{-b}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}\sin^{2}\frac{\pi x}{2b}}\left(\frac{\pi^{2}a}{4b^{2}}\cos\frac{\pi x}{2b}dx\right)=\frac{8b^{2}}{\pi}\int\limits_{-\frac{\pi a}{2b}}^{\frac{\pi a}{2b}}\sqrt{1+t^{2}}dt= \] Обозначим $\frac{\pi a}{2b}\equiv T$ и воспользуемся чётностью подынтегрального выражения: \[ =\frac{8b^{2}}{\pi}\int\limits_{-T}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt=\frac{16b^{2}}{\pi}\int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt. \] Отдельно возьмём интеграл. \[ \int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt=\int\limits_{0}^{T}\frac{1+t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}dt=\int\limits_{0}^{T}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt+\int\limits_{0}^{T}\frac{t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}dt= \] Первое слагаемое – табличное. Во втором проинтегрируем по частям, используя, что $\left(\sqrt{1+t^{2}}\right)'=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}$: \[ =\left.\ln\left|t+\sqrt{1+t^{2}}\right|\right|_{0}^{T}+\int\limits_{0}^{T}t\left(\sqrt{1+t^{2}}\right)'dt=\ln\left|T+\sqrt{1+T^{2}}\right|+\left.t\sqrt{1+t^{2}}\right|_{0}^{T}-\int\limits_{0}^{T}t'\sqrt{1+t^{2}}dt= \] \[ =\ln\left|T+\sqrt{1+T^{2}}\right|+T\sqrt{1+T^{2}}-\int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt. \] Получить значение интеграла не удалось, зато удалось выразить его через само себя. Перенесём его влево и разделим на два. Итак, \[ \int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt=\ln\left|T+\sqrt{1+T^{2}}\right|+T\sqrt{1+T^{2}}-\int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt, \] \[ 2\int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt=\ln\left|T+\sqrt{1+T^{2}}\right|+T\sqrt{1+T^{2}}, \] \[ \int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt=\frac{1}{2}\ln\left|T+\sqrt{1+T^{2}}\right|+\frac{T}{2}\sqrt{1+T^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\pi a}{2b}+\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}}\right|+\frac{\pi a}{4b}\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}}. \] Теперь окончательно найдём площадь: \[ S=\frac{16b^{2}}{\pi}\int\limits_{0}^{T}\sqrt{1+t^{2}}dt=\frac{16b^{2}}{\pi}\left[\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\pi a}{2b}+\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}}\right|+\frac{\pi a}{4b}\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}}\right]= \] \[ =\frac{8b^{2}}{\pi}\left[\ln\left|\frac{\pi a}{2b}+\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}}\right|+\frac{\pi a}{2b}\sqrt{1+\left(\frac{\pi a}{2b}\right)^{2}}\right]. \]
