Почему-то у многих вызывают сложности интегралы типа такого (тов. Дзеба и Федорчук - смотрите): \[ \int\frac{x+1}{x^{2}+x+1}dx \]
Сначала выделим полный квадрат в знаменателе. «Полный» означает, что он содержит в себе весь х, иначе нам это не поможет: \[ x^{2}+x+1=\left[x^{2}+2x\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right]-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}= \] вынесем также постоянный множитель, чтобы к квадрату прибавлялась единица: \[ =\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+1\right]=\frac{3}{4}\left\{ \left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]^{2}+1\right\} =\frac{3}{4}\left[\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1\right] \] Заменим теперь $\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\equiv t$ \[ =\frac{3}{4}\left(t^{2}+1\right); \] тогда $x=\frac{\sqrt{3}t-1}{2}$, $dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dt$, \[ x+1=\frac{\sqrt{3}t-1}{2}+1=\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{1}{2}, \] и в интеграле \[ \int\frac{x+1}{x^{2}+x+1}dx=\int\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}\left(t^{2}+1\right)}\frac{\sqrt{3}}{2}dt=\int\frac{\sqrt{3}t+1}{\sqrt{3}\left(t^{2}+1\right)}dt=\int\frac{t}{t^{2}+1}dt+\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{1}{t^{2}+1}dt= \] Второй из этих интегралов табличный, а в первом можно заметить, что $\ln\left(t^{2}+1\right)'=\frac{2t}{t^{2}+1}$; тогда получим \[ =\frac{1}{2}\ln\left(t^{2}+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\,t+\tilde{C}= \] и заменим обратно \[ =\frac{1}{2}\ln\left[\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1\right]+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\,\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+\tilde{C}. \] Для упрошения полученного разложим \[ \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1=\frac{\left(2x+1\right)^{2}}{3}+1=\frac{1}{3}\left[\left(2x+1\right)^{2}+3\right]=\frac{1}{3}\left(4x^{2}+4x+1+3\right)=\frac{4}{3}\left(x^{2}+x+1\right), \] \[ \ln\left[\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1\right]=\ln\frac{4}{3}\left(x^{2}+x+1\right)=\ln\left(x^{2}+x+1\right)+\ln\frac{4}{3} \] Подставим в первообразную \[ \int\frac{x+1}{x^{2}+x+1}dx=\frac{1}{2}\ln\left[\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1\right]+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\,\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+\tilde{C}= \] \[ =\frac{1}{2}\left[\ln\left(x^{2}+x+1\right)+\ln\frac{4}{3}\right]+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\,\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+\tilde{C}= \] и переобозначим $\tilde{C}+\frac{1}{2}\ln\frac{4}{3}\equiv C$: \[ =\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\,\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C. \]
