Числа $w$ называются корнями степени $n$ из $z$, если \[ w^{n}=z. \]
В тригонометрической форме это даст \[ \rho^{n}\left(\cos n\psi+i\sin n\psi\right)=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right), \] \[ \left\{ \begin{array}{c} \rho^{n}\cos n\psi=r\cos\varphi,\\ \rho^{n}\sin n\psi=r\sin\varphi. \end{array}\right. \] Найдём отсюда $\rho$ и $\varphi$.
Возведя оба уравнения в квадрат и сложив, получим $\rho^{2n}=r^{2}$, $\rho=\sqrt[n]{r}$ ($\rho\geqslant0$). Подставив это в систему, получим \[ \left\{ \begin{array}{c} \cos n\psi=\cos\varphi\\ \sin n\psi=\sin\varphi \end{array}\right.\qquad\Longrightarrow\qquad\left\{ \begin{array}{c} -2\sin\frac{n\psi-\varphi}{2}\sin\frac{n\psi+\varphi}{2}=0\\ 2\sin\frac{n\psi-\varphi}{2}\cos\frac{n\psi+\varphi}{2}=0, \end{array}\right. \] откуда либо \[ \sin\frac{n\psi-\varphi}{2}=0,\qquad\frac{n\psi-\varphi}{2}=\pi k,\qquad\psi=\frac{\varphi+2\pi k}{n},\quad k\in\mathbb{Z} \] либо \[ \left\{ \begin{array}{c} \sin\frac{n\psi+\varphi}{2}=0,\\ \cos\frac{n\psi+\varphi}{2}=0, \end{array}\right. \] что не выполняется одновременно ни при каких углах. В итоге, \[ w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right). \] $k$ – целое число, однако перебрав множество $k=0\dots n-1$, мы получим всё множество различных корней, выход же за пределы этого множества дополнительных новых корней нам не даст. Дело в том, что \[ \cos\frac{\varphi+2\pi\left(k+n\right)}{n}=\cos\frac{\varphi+2\pi k+2\pi n}{n}=\cos\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}+2\pi\right)=\cos\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \] и так же дела будут обстоять для синуса. Таким образом, каждое комплексное число, кроме нуля, имеет ровно $n$ корней $n$-ной степени.
Пример: Решить уравнение \[ z^{6}=64=2^{6}\cdot e^{i\cdot0}. \] В обозначениях, принятых выше, \[ n=6,\qquad r=2^{6},\qquad\varphi=0. \] Тогда \[ \rho=\sqrt[6]{r}=2,\qquad\psi=\frac{0+2\pi k}{6}=\frac{\pi k}{3},\quad k=0\dots5. \] Теперь переберём значения $k$, и для каждого найдём сначала $\psi_{k}$, а потом и искомый корень $w_{k}$: \[ \psi_{0}=\frac{\pi\cdot0}{3}=0,\qquad w_{0}=\rho e^{i\psi_{0}}=2e^{0}=2 \] \[ \psi_{1}=\frac{\pi\cdot1}{3}=\frac{\pi}{3},\qquad w_{1}=2e^{i\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3} \] \[ \psi_{2}=\frac{\pi\cdot2}{3}=\frac{2\pi}{3},\qquad w_{2}=2e^{i\frac{2\pi}{3}}=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3} \] \[ \psi_{3}=\frac{\pi\cdot3}{3}=\pi,\qquad w_{3}=2e^{i\pi}=-2 \] \[ \psi_{4}=\frac{\pi\cdot4}{3}=\pi+\frac{\pi}{3},\qquad w_{4}=2\left(-\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right)=-2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3} \] \[ \psi_{5}=\frac{\pi\cdot5}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3},\qquad w_{5}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-i\sqrt{3} \]
Задание: Найти решения для уравнений: \[ z^{2}=i;\qquad z^{2}=3-4i;\qquad z^{3}=-1. \]
Задание: Найти все значения корня \[ \sqrt[3]{i};\qquad\sqrt[3]{-1+i}. \]
Задание:* Найти все значения корня \[ \sqrt[5]{\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6} \right) }; \] (использовать, что \(\; \sin \frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \)).
